青山学院大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第001回
この回のテストポイント
- 第1問：二次関数の頂点・解・不等式
- 第2問：固定点を引く漸化式と重み付きの和
- 第3問：整数を選ぶ確率と条件付き確率
- 第4問：複素数の回転と正三角形
- 第5問：区分求積と和の極限
- 第6問：放物線の接線と囲まれた面積
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 二次関数の頂点・解・不等式（17点）
実数全体で \(f(x)=x^2-48x+552\) を考える。
（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（5点）
（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（5点）
（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（7点）
第2問 固定点を引く漸化式と重み付きの和（17点）
\(a_1=24,\ a_{n+1}=2a_n+24\) で定まる数列を考える。
（1）適当な定数を加えて等比数列を作り、一般項を求めなさい。（5点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）
（3）\(\sum_{j=1}^n a_j/2^j\) を求めなさい。（7点）
第3問 整数を選ぶ確率と条件付き確率（17点）
1から48までの整数が1枚ずつ書かれたカードから、1枚を等確率で選ぶ。Aを偶数が出る事象、Bを24より大きい数が出る事象とする。
（1）P(A),P(B)を求めなさい。（5点）
（2）P(A∩B)を求めなさい。（5点）
（3）P(A|B)を求め、AとBが独立かどうか判定しなさい。（7点）
第4問 複素数の回転と正三角形（17点）
複素数平面で \(A=24,B=24i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。
（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（5点）
（2）正三角形の面積を求めなさい。（5点）
（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（7点）
第5問 区分求積と和の極限（16点）
正の整数nについて、
、
とする。
（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（4点）
（2）Aの数列の極限を求めなさい。（4点）
（3）Bの数列の極限を求めなさい。（8点）
第6問 放物線の接線と囲まれた面積（16点）
放物線 \\(y=x^2\\) と、点 \(P(0,-576)\) を考える。
（1）この点を通る放物線の接線をすべて求めなさい。（4点）
（2）2つの接点と点Pでできる三角形の面積を求めなさい。（4点）
（3）放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 二次関数の頂点・解・不等式
（1）
\(f(x)=(x-24)^2-24\)。平方は非負なので頂点で最小になる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\((x-24)^2=24\) より、平方根の正負を両方とる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 固定点を引く漸化式と重み付きの和
（1）
\(a_{n+1}+24=2(a_n+24)\) なので \(a_n+24=48\cdot2^{n-1}\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
一般項を代入し、\(\sum_{j=1}^n2^j=2^{n+1}-2\) を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(a_j/2^j=24(1-2^{-j})\)。\(\sum_{j=1}^n2^{-j}=1-2^{-n}\) を差し引く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 整数を選ぶ確率と条件付き確率
（1）
偶数はk個、上半分の数もk個。全体は2k枚。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
共通部分の偶数の個数は \(24-\lfloor24/2\rfloor\)。全体の枚数で割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
条件付き確率は共通部分の確率をP(B)で割る。これがP(A)=1/2と等しい条件を調べる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 複素数の回転と正三角形
（1）
。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(|B-A|=24\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 区分求積と和の極限
（1）
\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{24+x}\)、
は \(g(x)=1/(24+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 放物線の接線と囲まれた面積
（1）
接点の横座標を \(t\) とすると接線は \(y=2tx-t^2\)。Pを通る条件から \(t^2=576\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
接点は \((\pm24,576)\)。底辺の長さは \(48\)、Pから底辺までの高さは \(1152\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
左右の対称性を使う。右半分では放物線が接線の上にあり、差は \((x-24)^2\)。したがって \(S=2\int_0^{24}(x-24)^2\,dx\)。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。