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青山学院大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第086回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　対数方程式の存在条件（25点）

\(\log_2 x+\log_2(20-x)=a\) を考える。\(a\) は実数である。

（1）真数条件を示し、実数解が存在するための必要十分条件を求めなさい。（7点）

（2）実数解の個数を場合分けして求めなさい。（7点）

（3）\(a=\log_2 75\) のとき、すべての解を求めなさい。（11点）

第2問　完全順列の漸化式と固定点（25点）

\(20\) 人が各自の帽子を無作為に1個ずつ受け取る。すべての割当ては同様に確からしい。n人の誰も自分の帽子を受け取らない割当ての個数をD_nとし、\(D_0=1,D_1=0\) とする。

（1）1人目の帽子の行き先に着目し、完全順列の個数の漸化式を導きなさい。（7点）

（2）全員が自分以外の帽子を受け取る確率を求めなさい。（7点）

（3）自分の帽子を受け取った人数の期待値を求めなさい。（11点）

第3問　等差数列の一般項・和・境界（25点）

初項20、公差2の等差数列をaₙとする。

（1）一般項を求めなさい。（7点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）

（3）\(a_n\ge 60\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（11点）

第4問　等周条件と三角形の面積（25点）

周の長さが \(120\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。

（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（7点）

（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（7点）

（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　対数方程式の存在条件

（1）

真数条件は \(0<x<20\)。\(x(20-x)=400/4-(x-20/2)^2\) なので、この積の値域は \((0,400/4]\)。対数の底が1より大きいことを使う。

\[ \boxed{0<x<20,\quad a\le\log_2 100} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

積が最大値より小さい正の値なら頂点の左右に1解ずつ、最大値なら頂点に1解、それを超えれば解はない。対数の真数条件も満たす。

\[ \boxed{a<\log_2 100:2\text{個};\quad a=\log_2 100:1\text{個};\quad a>\log_2 100:0\text{個}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\(x(20-x)=75\) を解く。2つの解の和は \(20\)、積は右辺。得られた解が真数条件に入ることを確認する。

\[ \boxed{x=5,\ 15} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　完全順列の漸化式と固定点

（1）

1人目に渡す帽子の元の持ち主をjとする。jの選び方はn-1通り。jが1人目の帽子を受け取る場合は残りn-2人の完全順列。受け取らない場合は、1人目とjの関係を縮めたn-1人の完全順列と1対1に対応する。

\[ \boxed{D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

初期値から前問の漸化式を順に計算すると \(D_{20}=895014631192902121\)。全割当ては \(20!\) 通り。

\[ \boxed{\frac{4282366656425369}{11640679464960000}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

人iが自分の帽子を受け取ったとき1、そうでないとき0の変数をX_iとする。\(E[X_i]=1/20\)。人数はその和であり、独立でなくても期待値は加算できる。

\[ \boxed{1} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　等差数列の一般項・和・境界

（1）

初項に公差のn−1倍を加える。

\[ \boxed{a_n=20+2(n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

初項と末項の平均に項数を掛ける。

\[ \boxed{S_n=n(n+19)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

一般項を代入してnの不等式を解き、最小の整数を選ぶ。

\[ \boxed{21} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　等周条件と三角形の面積

（1）

\(b=120-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。

\[ \boxed{b=120-2a,\quad 30<a<60} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=60(60-a)^2(2a-60)\)。微分すると \((S^2)'=360(60-a)(40-a)\)。存在範囲で \(a=40\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。

\[ \boxed{a=b=40,\quad S_{\max}=400\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

半周長は \(60\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=60r\)。

\[ \boxed{r=\frac{20}{3}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。