青山学院大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第080回
この回のテストポイント
- 第1問：三次方程式の実数解の個数
- 第2問：反射による経路の数え上げ
- 第3問：等差数列の一般項・和・境界
- 第4問：内分点・内積・三角形の面積
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 三次方程式の実数解の個数（25点）
実数 \(a\) に対し、方程式 \(x^3-432x=a\) を考える。
（1）左辺の関数の極大値と極小値を求めなさい。（7点）
（2）異なる3つの実数解をもつための必要十分条件を求め、理由を説明しなさい。（7点）
（3）異なる実数解がちょうど2つとなる場合のパラメータと、そのときの解をすべて求めなさい。（11点）
第2問 反射による経路の数え上げ（25点）
数直線上の点を原点から動かす。毎回、左右それぞれ確率1/2で1だけ進み、独立に \(24\) 回動かす。
（1）最後に原点に戻る移動列の数を求めなさい。（7点）
（2）最後に原点に戻り、途中で一度も負の位置に達しない移動列の数を求めなさい。負の位置に初めて達するまでの移動を反転する方法で説明しなさい。（7点）
（3）最後に原点に戻ったという条件のもとで、一度も負の位置に達していない確率を求めなさい。（11点）
第3問 等差数列の一般項・和・境界（25点）
初項12、公差2の等差数列をaₙとする。
（1）一般項を求めなさい。（7点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）
（3）\(a_n\ge 36\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（11点）
第4問 内分点・内積・三角形の面積（25点）
A(0,0)、B(24,0)、C(0,24)とする。PはABの中点、QはBCをBQ:QC=1:2に内分する点とする。
（1）P,Qの座標を求めなさい。（7点）
（2）ベクトルAPとAQの内積を求めなさい。（7点）
（3）三角形APQの面積を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 三次方程式の実数解の個数
（1）
\(f'(x)=3(x-12)(x+12)\)。増減は順に増加・減少・増加なので、\(x=-12\) で極大、\(x=12\) で極小となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
水平線が3つの単調な部分にそれぞれ1回交わる条件は、高さが極小値より大きく極大値より小さいことである。端点では接して重解をもつため除く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
\(a=3456\) では \(f(x)-a=(x-24)(x+12)^2\)。\(a=-3456\) では \(f(x)-a=(x+24)(x-12)^2\)。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 反射による経路の数え上げ
（1）
右へ進む回数と左へ進む回数はそれぞれ \(12\) 回。右への移動の位置を選ぶ。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
悪い移動列について、初めて位置-1に着くまでの左右を反転する。原点から出て最後に位置2に着く移動列と1対1に対応する。この列は右が \(13\) 回、左が \(11\) 回なので \(\binom{24}{11}\) 個。全体から差し引く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
条件付きの標本空間は前問（1）の \(\binom{24}{12}\) 個。良い列の個数は全体の \(1/13\)。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 等差数列の一般項・和・境界
（1）
初項に公差のn−1倍を加える。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
初項と末項の平均に項数を掛ける。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
一般項を代入してnの不等式を解き、最小の整数を選ぶ。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 内分点・内積・三角形の面積
（1）
中点は両端の座標の平均。内分点は2B+Cを3で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
始点Aは原点なので位置ベクトル同士の内積を計算する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
APを底辺にし、Qのy座標を高さにして面積を求める。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。