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青山学院大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第071回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　対数方程式の存在条件（25点）

\(\log_2 x+\log_2(19-x)=a\) を考える。\(a\) は実数である。

（1）真数条件を示し、実数解が存在するための必要十分条件を求めなさい。（7点）

（2）実数解の個数を場合分けして求めなさい。（7点）

（3）\(a=\log_2 \frac{1083}{16}\) のとき、すべての解を求めなさい。（11点）

第2問　整数を選ぶ確率と条件付き確率（25点）

1から38までの整数が1枚ずつ書かれたカードから、1枚を等確率で選ぶ。Aを偶数が出る事象、Bを19より大きい数が出る事象とする。

（1）P(A),P(B)を求めなさい。（7点）

（2）P(A∩B)を求めなさい。（7点）

（3）P(A|B)を求め、AとBが独立かどうか判定しなさい。（11点）

第3問　対数の真数条件と単調性（25点）

\(F(x)=\log_2x+\log_2(x-19)\) を考える。

（1）定義域を求めなさい。（7点）

（2）\(F(x)=\log_2 722\) を解きなさい。（7点）

（3）\(F(x)\le\log_2 722\) を解きなさい。（11点）

第4問　等周条件と三角形の面積（25点）

周の長さが \(114\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。

（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（7点）

（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（7点）

（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　対数方程式の存在条件

（1）

真数条件は \(0<x<19\)。\(x(19-x)=361/4-(x-19/2)^2\) なので、この積の値域は \((0,361/4]\)。対数の底が1より大きいことを使う。

\[ \boxed{0<x<19,\quad a\le\log_2 \frac{361}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

積が最大値より小さい正の値なら頂点の左右に1解ずつ、最大値なら頂点に1解、それを超えれば解はない。対数の真数条件も満たす。

\[ \boxed{a<\log_2 \frac{361}{4}:2\text{個};\quad a=\log_2 \frac{361}{4}:1\text{個};\quad a>\log_2 \frac{361}{4}:0\text{個}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\(x(19-x)=\frac{1083}{16}\) を解く。2つの解の和は \(19\)、積は右辺。得られた解が真数条件に入ることを確認する。

\[ \boxed{x=\frac{19}{4},\ \frac{57}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　整数を選ぶ確率と条件付き確率

（1）

偶数はk個、上半分の数もk個。全体は2k枚。

\[ \boxed{P(A)=P(B)=\frac12} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

共通部分の偶数の個数は \(19-\lfloor19/2\rfloor\)。全体の枚数で割る。

\[ \boxed{\frac{5}{19}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

条件付き確率は共通部分の確率をP(B)で割る。これがP(A)=1/2と等しい条件を調べる。

\[ \boxed{P(A\mid B)=\frac{10}{19},\quad\text{独立ではない}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　対数の真数条件と単調性

（1）

2つの真数がともに正になる条件の共通範囲をとる。

\[ \boxed{x>19} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

積の対数にまとめると \(x(x-19)=722\)。2つの根のうち真数条件を満たすものを選ぶ。

\[ \boxed{x=38} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

底が1より大きいため、各対数は定義域内で増加する。等号となる点までが解となる。

\[ \boxed{19<x\le38} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　等周条件と三角形の面積

（1）

\(b=114-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。

\[ \boxed{b=114-2a,\quad \frac{57}{2}<a<57} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=57(57-a)^2(2a-57)\)。微分すると \((S^2)'=342(57-a)(38-a)\)。存在範囲で \(a=38\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。

\[ \boxed{a=b=38,\quad S_{\max}=361\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

半周長は \(57\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=57r\)。

\[ \boxed{r=\frac{19}{3}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。