青山学院大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第066回
この回のテストポイント
- 第1問：対数方程式の存在条件
- 第2問：反射による経路の数え上げ
- 第3問：対数の真数条件と単調性
- 第4問：内分点・内積・三角形の面積
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 対数方程式の存在条件（25点）
\(\log_2 x+\log_2(10-x)=a\) を考える。\(a\) は実数である。
（1）真数条件を示し、実数解が存在するための必要十分条件を求めなさい。（7点）
（2）実数解の個数を場合分けして求めなさい。（7点）
（3）\(a=\log_2 \frac{75}{4}\) のとき、すべての解を求めなさい。（11点）
第2問 反射による経路の数え上げ（25点）
数直線上の点を原点から動かす。毎回、左右それぞれ確率1/2で1だけ進み、独立に \(20\) 回動かす。
（1）最後に原点に戻る移動列の数を求めなさい。（7点）
（2）最後に原点に戻り、途中で一度も負の位置に達しない移動列の数を求めなさい。負の位置に初めて達するまでの移動を反転する方法で説明しなさい。（7点）
（3）最後に原点に戻ったという条件のもとで、一度も負の位置に達していない確率を求めなさい。（11点）
第3問 対数の真数条件と単調性（25点）
\(F(x)=\log_2x+\log_2(x-10)\) を考える。
（1）定義域を求めなさい。（7点）
（2）\(F(x)=\log_2 200\) を解きなさい。（7点）
（3）\(F(x)\le\log_2 200\) を解きなさい。（11点）
第4問 内分点・内積・三角形の面積（25点）
A(0,0)、B(20,0)、C(0,20)とする。PはABの中点、QはBCをBQ:QC=1:2に内分する点とする。
（1）P,Qの座標を求めなさい。（7点）
（2）ベクトルAPとAQの内積を求めなさい。（7点）
（3）三角形APQの面積を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 対数方程式の存在条件
（1）
真数条件は \(0<x<10\)。\(x(10-x)=100/4-(x-10/2)^2\) なので、この積の値域は \((0,100/4]\)。対数の底が1より大きいことを使う。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
積が最大値より小さい正の値なら頂点の左右に1解ずつ、最大値なら頂点に1解、それを超えれば解はない。対数の真数条件も満たす。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
\(x(10-x)=\frac{75}{4}\) を解く。2つの解の和は \(10\)、積は右辺。得られた解が真数条件に入ることを確認する。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 反射による経路の数え上げ
（1）
右へ進む回数と左へ進む回数はそれぞれ \(10\) 回。右への移動の位置を選ぶ。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
悪い移動列について、初めて位置-1に着くまでの左右を反転する。原点から出て最後に位置2に着く移動列と1対1に対応する。この列は右が \(11\) 回、左が \(9\) 回なので \(\binom{20}{9}\) 個。全体から差し引く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
条件付きの標本空間は前問（1）の \(\binom{20}{10}\) 個。良い列の個数は全体の \(1/11\)。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 対数の真数条件と単調性
（1）
2つの真数がともに正になる条件の共通範囲をとる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
積の対数にまとめると \(x(x-10)=200\)。2つの根のうち真数条件を満たすものを選ぶ。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
底が1より大きいため、各対数は定義域内で増加する。等号となる点までが解となる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 内分点・内積・三角形の面積
（1）
中点は両端の座標の平均。内分点は2B+Cを3で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
始点Aは原点なので位置ベクトル同士の内積を計算する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
APを底辺にし、Qのy座標を高さにして面積を求める。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。