青山学院大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第022回
この回のテストポイント
- 第1問：二次方程式の解の符号
- 第2問：反復試行と条件付き確率
- 第3問：絶対値を含む面積の最適化
- 第4問：内分点・内積・三角形の面積
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 二次方程式の解の符号（25点）
実数tに対し \\(x^2-2tx+900=0\\) を考える。
（1）実数解をもつtの範囲を求めなさい。（7点）
（2）異なる2つの正の実数解をもつtの範囲を求めなさい。（7点）
（3）2つの実数解をα,βとするとき、逆数の和をtで表しなさい。（11点）
第2問 反復試行と条件付き確率（25点）
公平な硬貨を30回投げる。表の回数をXとする。
（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（7点）
（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（7点）
（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（11点）
第3問 絶対値を含む面積の最適化（25点）
\(0\le a\le30\) とする。\(0\le x\le30\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。
（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（7点）
（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（7点）
（3）面積の最小値を求めなさい。（11点）
第4問 内分点・内積・三角形の面積（25点）
A(0,0)、B(60,0)、C(0,60)とする。PはABの中点、QはBCをBQ:QC=1:2に内分する点とする。
（1）P,Qの座標を求めなさい。（7点）
（2）ベクトルAPとAQの内積を求めなさい。（7点）
（3）三角形APQの面積を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 二次方程式の解の符号
（1）
判別式は \(4(t^2-900)\)。0以上となる範囲を求める。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
解の積は正で、和が正なら両方正になる。重解を除くため判別式は正とする。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
解の積は \(900\)、和は2t。積が0ではないので逆数が定義できる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 反復試行と条件付き確率
（1）
表が出る2回を選ぶ方法は \(30\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 絶対値を含む面積の最適化
（1）
差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le30\) では曲線が上。
。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
\(S'(a)=a^2-450\)。定義域内で \(a=30/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 内分点・内積・三角形の面積
（1）
中点は両端の座標の平均。内分点は2B+Cを3で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
始点Aは原点なので位置ベクトル同士の内積を計算する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
APを底辺にし、Qのy座標を高さにして面積を求める。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。