数学C｜平面上の曲線と複素数平面ドリル第46回（総合復習）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

極座標(r,θ)=(16,π/6)の直交座標を求めなさい。

z=8+8iの絶対値と偏角の主値（−π<arg z≤π）を求めなさい。

z=7+2iを点α=1の周りに反時計回りに90°回転した点wを求めなさい。

\(z^3=343\)の解をすべて極形式で表しなさい。

点0、z=7+2i、w=−2+7iについて、OZとOWが垂直であることを複素数の商から示しなさい。

解答・解説

x=r cosθ、y=r sinθを使います。

\boxed{(8\sqrt3,8)}

第1象限で実部と虚部が等しいので偏角はπ/4。大きさは平方和の平方根です。

\boxed{|z|=8\sqrt2,\quad\arg z=\frac\pi4}

中心を原点に移すz−αを回転してから、αを戻すのでw=α+i(z−α)です。

\boxed{w=-1+6i}

絶対値はa、偏角は2kπ/(b+2)。異なる解がb+2個あり、円に内接する正多角形の頂点になります。

\boxed{z=7(\cos\frac{2k\pi}{3}+i\sin\frac{2k\pi}{3})\quad(k=0,\ldots,2)}

w=izなのでw/z=i。商の偏角がπ/2で、0でない2ベクトルのなす角が90°です。

\boxed{\frac wz=i\quad\text{より垂直}}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____