数学C｜平面上の曲線と複素数平面 ドリル第26回（定着練習）
注意事項
各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。
問題
問題1｜ド・モアブルの定理
\(z=7(\cos\frac\pi{3}+i\sin\frac\pi{3})\)の3乗を求めなさい。
問題2｜複素数平面の軌跡
\(|z-(7+1i)|=1\)が表す図形を説明しなさい。
問題3｜複素数による垂直条件
点0、z=7+1i、w=−1+7iについて、OZとOWが垂直であることを複素数の商から示しなさい。
問題4｜放物線
放物線\\(y^2=8x\\)の焦点と準線を求めなさい。
問題5｜楕円
楕円\\(\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{4}=1\\)の長軸の長さと焦点を求めなさい。
解答・解説
解答1｜ド・モアブルの定理
絶対値は(b+2)乗、偏角は(b+2)倍。偏角πとなるため実数−a^(b+2)です。
\[
\boxed{-343}
\]
解答2｜複素数平面の軌跡
複素数の差の絶対値は2点間の距離です。中心からの距離が一定の点を表します。
\[
\boxed{\text{中心}(7,1)\text{、半径}1\text{の円}}
\]
解答3｜複素数による垂直条件
w=izなのでw/z=i。商の偏角がπ/2で、0でない2ベクトルのなす角が90°です。
\[
\boxed{\frac wz=i\quad\text{より垂直}}
\]
解答4｜放物線
標準形y²=4pxでp=a。焦点(p,0)、準線x=−pです。
\[
\boxed{(2,0),\quad x=-2}
\]
解答5｜楕円
x方向の半径が大きいので長軸はx軸方向。焦点距離は平方の差の平方根です。
\[
\boxed{\text{長軸の長さ}20,\quad(\pm4\sqrt{6},0)}
\]
復習記録
得点：____ / 50点 解き直す問題：____ 次回までに確認する公式・条件：____