数学C｜平面上の曲線と複素数平面ドリル第20回（定着練習）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

極方程式\(r=10\cos\theta\)を直交座標の式に直し、図形を説明しなさい。r≥0で表される点全体を考えます。

z=5+5iの絶対値と偏角の主値（−π<arg z≤π）を求めなさい。

z=5+1iを原点の周りに反時計回りに90°回転した点wを求めなさい。

z=5+1iを点α=1の周りに反時計回りに90°回転した点wを求めなさい。

\(z=5(\cos\frac\pi{3}+i\sin\frac\pi{3})\)の3乗を求めなさい。

解答・解説

rを掛けてr²=2ar cosθ。x²+y²=2axを平方完成します。原点も元の式で表される点です。

\boxed{(x-5)^2+y^2=25\quad\text{中心}(5,0)\text{、半径}5\text{の円}}

第1象限で実部と虚部が等しいので偏角はπ/4。大きさは平方和の平方根です。

\boxed{|z|=5\sqrt2,\quad\arg z=\frac\pi4}

反時計回り90°はiを掛けます。i(a+bi)=−b+aiです。

\boxed{w=-1+5i}

中心を原点に移すz−αを回転してから、αを戻すのでw=α+i(z−α)です。

\boxed{w=4i}

絶対値は(b+2)乗、偏角は(b+2)倍。偏角πとなるため実数−a^(b+2)です。

\boxed{-125}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____