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数学I｜二次関数の最大値・3つの場合分け 練習問題集

10問・15問・20問から選び、ノートや印刷した用紙で練習しましょう。

全20問

日付：＿＿年＿＿月＿＿日　名前：＿＿＿＿＿＿＿＿

問題

問1

次の関数の最大値を、文字の値で場合分けして求めなさい。

\\(y=-x^2+2ax\\)、\(0\le x\le2\)

問2

次の関数の最大値を、文字の値で場合分けして求めなさい。

\(y=-(x-b)^2+4\)、\(-1\le x\le3\)

問3

次の関数の最大値を、文字の値で場合分けして求めなさい。

\\(y=-2x^2+8cx+1\\)、\(0\le x\le4\)

問4

次の関数の最大値を、文字の値で場合分けして求めなさい。

\(y=-(x+ d)^2+2\)、\(1\le x\le5\)

問5

次の関数の最大値を、文字の値で場合分けして求めなさい。

\(y=-3(x-e)^2+6\)、\(-2\le x\le1\)

問6

関数y=−(x−a)²+3を-1≤x≤2で考える。最大値をaの値で場合分けして求めなさい。

問7

関数y=−(x−a)²+4を-2≤x≤3で考える。最大値をaの値で場合分けして求めなさい。

問8

関数y=−(x−a)²+5を-3≤x≤4で考える。最大値をaの値で場合分けして求めなさい。

問9

関数y=−(x−a)²+6を-4≤x≤5で考える。最大値をaの値で場合分けして求めなさい。

問10

関数y=−(x−a)²+7を-5≤x≤6で考える。最大値をaの値で場合分けして求めなさい。

問11

関数y=−(x−a)²+8を-6≤x≤7で考える。最大値をaの値で場合分けして求めなさい。

問12

関数y=−(x−a)²+9を-7≤x≤8で考える。最大値をaの値で場合分けして求めなさい。

問13

関数y=−(x−a)²+10を-8≤x≤9で考える。最大値をaの値で場合分けして求めなさい。

問14

関数y=−(x−a)²+11を-9≤x≤10で考える。最大値をaの値で場合分けして求めなさい。

問15

関数y=−(x−a)²+12を-10≤x≤11で考える。最大値をaの値で場合分けして求めなさい。

問16

関数y=−(x−a)²+13を-11≤x≤12で考える。最大値をaの値で場合分けして求めなさい。

問17

関数y=−(x−a)²+14を-12≤x≤13で考える。最大値をaの値で場合分けして求めなさい。

問18

関数y=−(x−a)²+15を-13≤x≤14で考える。最大値をaの値で場合分けして求めなさい。

問19

関数y=−(x−a)²+16を-14≤x≤15で考える。最大値をaの値で場合分けして求めなさい。

問20

関数y=−(x−a)²+17を-15≤x≤16で考える。最大値をaの値で場合分けして求めなさい。

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解答・解説

問1

頂点の \(x\) 座標は \(a\) です。\(a\le0\) なら \(x=0\)、\(0\le a\le2\) なら頂点、\(a\ge2\) なら \(x=2\) で最大になります。

\[ \boxed{\text{最大値 }\begin{cases}0&(a\le0)\\a^2&(0\le a\le2)\\4a-4&(a\ge2)\end{cases}} \]

元のドリル

問2

頂点は \(x=b\) で、その値は4です。頂点が区間の外なら近い端点を使います。

\[ \boxed{\text{最大値 }\begin{cases}-(b+1)^2+4&(b\le-1)\\4&(-1\le b\le3)\\-(b-3)^2+4&(b\ge3)\end{cases}} \]

元のドリル

問3

平方完成すると \(y=-2(x-2c)^2+8c^2+1\)。頂点の \(x\) 座標は (2c) です。端点の値は \(y(0)=1, y(4)=-31+32c\)。

\[ \boxed{\text{最大値 }\begin{cases}1&(c\le0)\\8c^2+1&(0\le c\le2)\\-31+32c&(c\ge2)\end{cases}} \]

元のドリル

問4

頂点は \(x=-d\)、値は2です。区間は \(1\le x\le5\) なので、\(-d\le1\) は \(d\ge-1\)、\(-d\ge5\) は \(d\le-5\) です。

\[ \boxed{\text{最大値 }\begin{cases}-(1+d)^2+2&(d\ge-1)\\2&(-5\le d\le-1)\\-(5+d)^2+2&(d\le-5)\end{cases}} \]

元のドリル

問5

頂点は \(x=e\)、値は6です。区間 \([-2,1]\) の外に頂点があるときは、最も近い端点で最大になります。

\[ \boxed{\text{最大値 }\begin{cases}-3(-2-e)^2+6&(e\le-2)\\6&(-2\le e\le1)\\-3(1-e)^2+6&(e\ge1)\end{cases}} \]

元のドリル

問6

下に開く放物線の頂点はx=a、頂点のy座標は3です。頂点が区間[-1,2]の左外なら左端、区間内なら頂点、右外なら右端で最大になります。境界では隣り合う式の値が一致します。

\[ \boxed{\text{最大値}\begin{cases}-(-1-a)^2+3&(a\le -1)\\3&(-1\le a\le 2)\\-(2-a)^2+3&(a\ge 2)\end{cases}} \]

問7

下に開く放物線の頂点はx=a、頂点のy座標は4です。頂点が区間[-2,3]の左外なら左端、区間内なら頂点、右外なら右端で最大になります。境界では隣り合う式の値が一致します。

\[ \boxed{\text{最大値}\begin{cases}-(-2-a)^2+4&(a\le -2)\\4&(-2\le a\le 3)\\-(3-a)^2+4&(a\ge 3)\end{cases}} \]

問8

下に開く放物線の頂点はx=a、頂点のy座標は5です。頂点が区間[-3,4]の左外なら左端、区間内なら頂点、右外なら右端で最大になります。境界では隣り合う式の値が一致します。

\[ \boxed{\text{最大値}\begin{cases}-(-3-a)^2+5&(a\le -3)\\5&(-3\le a\le 4)\\-(4-a)^2+5&(a\ge 4)\end{cases}} \]

問9

下に開く放物線の頂点はx=a、頂点のy座標は6です。頂点が区間[-4,5]の左外なら左端、区間内なら頂点、右外なら右端で最大になります。境界では隣り合う式の値が一致します。

\[ \boxed{\text{最大値}\begin{cases}-(-4-a)^2+6&(a\le -4)\\6&(-4\le a\le 5)\\-(5-a)^2+6&(a\ge 5)\end{cases}} \]

問10

下に開く放物線の頂点はx=a、頂点のy座標は7です。頂点が区間[-5,6]の左外なら左端、区間内なら頂点、右外なら右端で最大になります。境界では隣り合う式の値が一致します。

\[ \boxed{\text{最大値}\begin{cases}-(-5-a)^2+7&(a\le -5)\\7&(-5\le a\le 6)\\-(6-a)^2+7&(a\ge 6)\end{cases}} \]

問11

下に開く放物線の頂点はx=a、頂点のy座標は8です。頂点が区間[-6,7]の左外なら左端、区間内なら頂点、右外なら右端で最大になります。境界では隣り合う式の値が一致します。

\[ \boxed{\text{最大値}\begin{cases}-(-6-a)^2+8&(a\le -6)\\8&(-6\le a\le 7)\\-(7-a)^2+8&(a\ge 7)\end{cases}} \]

問12

下に開く放物線の頂点はx=a、頂点のy座標は9です。頂点が区間[-7,8]の左外なら左端、区間内なら頂点、右外なら右端で最大になります。境界では隣り合う式の値が一致します。

\[ \boxed{\text{最大値}\begin{cases}-(-7-a)^2+9&(a\le -7)\\9&(-7\le a\le 8)\\-(8-a)^2+9&(a\ge 8)\end{cases}} \]

問13

下に開く放物線の頂点はx=a、頂点のy座標は10です。頂点が区間[-8,9]の左外なら左端、区間内なら頂点、右外なら右端で最大になります。境界では隣り合う式の値が一致します。

\[ \boxed{\text{最大値}\begin{cases}-(-8-a)^2+10&(a\le -8)\\10&(-8\le a\le 9)\\-(9-a)^2+10&(a\ge 9)\end{cases}} \]

問14

下に開く放物線の頂点はx=a、頂点のy座標は11です。頂点が区間[-9,10]の左外なら左端、区間内なら頂点、右外なら右端で最大になります。境界では隣り合う式の値が一致します。

\[ \boxed{\text{最大値}\begin{cases}-(-9-a)^2+11&(a\le -9)\\11&(-9\le a\le 10)\\-(10-a)^2+11&(a\ge 10)\end{cases}} \]

問15

下に開く放物線の頂点はx=a、頂点のy座標は12です。頂点が区間[-10,11]の左外なら左端、区間内なら頂点、右外なら右端で最大になります。境界では隣り合う式の値が一致します。

\[ \boxed{\text{最大値}\begin{cases}-(-10-a)^2+12&(a\le -10)\\12&(-10\le a\le 11)\\-(11-a)^2+12&(a\ge 11)\end{cases}} \]

問16

下に開く放物線の頂点はx=a、頂点のy座標は13です。頂点が区間[-11,12]の左外なら左端、区間内なら頂点、右外なら右端で最大になります。境界では隣り合う式の値が一致します。

\[ \boxed{\text{最大値}\begin{cases}-(-11-a)^2+13&(a\le -11)\\13&(-11\le a\le 12)\\-(12-a)^2+13&(a\ge 12)\end{cases}} \]

問17

下に開く放物線の頂点はx=a、頂点のy座標は14です。頂点が区間[-12,13]の左外なら左端、区間内なら頂点、右外なら右端で最大になります。境界では隣り合う式の値が一致します。

\[ \boxed{\text{最大値}\begin{cases}-(-12-a)^2+14&(a\le -12)\\14&(-12\le a\le 13)\\-(13-a)^2+14&(a\ge 13)\end{cases}} \]

問18

下に開く放物線の頂点はx=a、頂点のy座標は15です。頂点が区間[-13,14]の左外なら左端、区間内なら頂点、右外なら右端で最大になります。境界では隣り合う式の値が一致します。

\[ \boxed{\text{最大値}\begin{cases}-(-13-a)^2+15&(a\le -13)\\15&(-13\le a\le 14)\\-(14-a)^2+15&(a\ge 14)\end{cases}} \]

問19

下に開く放物線の頂点はx=a、頂点のy座標は16です。頂点が区間[-14,15]の左外なら左端、区間内なら頂点、右外なら右端で最大になります。境界では隣り合う式の値が一致します。

\[ \boxed{\text{最大値}\begin{cases}-(-14-a)^2+16&(a\le -14)\\16&(-14\le a\le 15)\\-(15-a)^2+16&(a\ge 15)\end{cases}} \]

問20

下に開く放物線の頂点はx=a、頂点のy座標は17です。頂点が区間[-15,16]の左外なら左端、区間内なら頂点、右外なら右端で最大になります。境界では隣り合う式の値が一致します。

\[ \boxed{\text{最大値}\begin{cases}-(-15-a)^2+17&(a\le -15)\\17&(-15\le a\le 16)\\-(16-a)^2+17&(a\ge 16)\end{cases}} \]

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