数学II｜微分・積分の考えドリル第48回（総合復習）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

\(f(x)=5x^3-4x^2+1x\)を微分しなさい。

\(f(x)=x^3-48x\)の増減区間と極大・極小値を求めなさい。

\(\int\(5x^2+4x+1\)\,dx\)を求めなさい。

\(y=4x(3-x)\)とx軸で囲まれる面積を求めなさい。

直線\(y=x\)、x軸、直線\(x=-4\)、\(x=3\)で囲まれる2部分の面積の合計を求めなさい。

解答・解説

各項に(x^n)'=nx^(n−1)を適用し、係数はそのまま掛けます。

\boxed{f'(x)=15x^2-8x+1}

f'=3(x−a)(x+a)の符号は正・負・正。符号が変わる−aで極大、aで極小です。

\boxed{x<-4,x>4:\text{増加},\quad-4<x<4:\text{減少};\quad f(-4)=128,\ f(4)=-128}

各項の次数を1上げ、その次数で割ります。積分定数Cを忘れません。

\boxed{\frac{5}{3}x^3+2x^2+1x+C}

交点は0,b。その間はy≥0なので、そのまま0からbまで積分します。

\boxed{18}

x=0で符号が変わります。負の区間では−x、正の区間ではxを積分して足します。定積分の値そのものとは異なります。

\boxed{\frac{25}{2}}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____