数学I｜文字係数の二次関数の最大・最小 練習問題集
10問・15問・20問から選び、ノートや印刷した用紙で練習しましょう。
全20問
日付：＿＿年＿＿月＿＿日 名前：＿＿＿＿＿＿＿＿
問題
問1
関数 \\(y=x^2-2ax+a^2+3\\) の、実数全体での最小値と、そのときの \(x\) を求めなさい。
問2
関数 \\(y=x^2-4x+1\\) を \(0\le x\le3\) で考える。最大値と最小値を求めなさい。
問3
関数 \\(y=x^2-2ax\\) を \(-1\le x\le1\) で考える。最大値を \(a\) の値で場合分けして求めなさい。
問4
関数 \\(y=x^2-2ax+2a\\) を \(0\le x\le2\) で考える。最小値を \(a\) の値で場合分けして求めなさい。
問5
関数 \\(y=-x^2+2ax+1\\) を \(0\le x\le2\) で考える。最大値を \(a\) の値で場合分けして求めなさい。
問6
関数y=(x−a)²+1を0≤x≤3で考える。最大値と最小値をaの値で場合分けして求めなさい。
問7
関数y=(x−a)²+2を0≤x≤4で考える。最大値と最小値をaの値で場合分けして求めなさい。
問8
関数y=(x−a)²+3を0≤x≤5で考える。最大値と最小値をaの値で場合分けして求めなさい。
問9
関数y=(x−a)²+4を0≤x≤6で考える。最大値と最小値をaの値で場合分けして求めなさい。
問10
関数y=(x−a)²+5を0≤x≤7で考える。最大値と最小値をaの値で場合分けして求めなさい。
問11
関数y=(x−a)²+6を0≤x≤8で考える。最大値と最小値をaの値で場合分けして求めなさい。
問12
関数y=(x−a)²+7を0≤x≤9で考える。最大値と最小値をaの値で場合分けして求めなさい。
問13
関数y=(x−a)²+8を0≤x≤10で考える。最大値と最小値をaの値で場合分けして求めなさい。
問14
関数y=(x−a)²+9を0≤x≤11で考える。最大値と最小値をaの値で場合分けして求めなさい。
問15
関数y=(x−a)²+10を0≤x≤12で考える。最大値と最小値をaの値で場合分けして求めなさい。
問16
関数y=(x−a)²+11を0≤x≤13で考える。最大値と最小値をaの値で場合分けして求めなさい。
問17
関数y=(x−a)²+12を0≤x≤14で考える。最大値と最小値をaの値で場合分けして求めなさい。
問18
関数y=(x−a)²+13を0≤x≤15で考える。最大値と最小値をaの値で場合分けして求めなさい。
問19
関数y=(x−a)²+14を0≤x≤16で考える。最大値と最小値をaの値で場合分けして求めなさい。
問20
関数y=(x−a)²+15を0≤x≤17で考える。最大値と最小値をaの値で場合分けして求めなさい。
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解答・解説
問1
平方完成すると、\(y=(x-a)^2+3\) です。平方は0以上なので、
問2
平方完成すると \(y=(x-2)^2-3\) です。頂点 \(x=2\) は区間内にあり、最小値は \(-3\)。端点では \(y(0)=1, y(3)=-2\) なので最大値は1です。
問3
上に開く放物線なので、最大値は端点のどちらかです。
差を比べると \(y(-1)-y(1)=4a\) です。したがって、
問4
平方完成すると \(y=(x-a)^2+2a-a^2\) で、頂点の \(x\) 座標は \(a\) です。
- \(a\le0\)：頂点は区間の左側にあり、区間では増加するので \(x=0\) で最小。
- \(0\le a\le2\)：頂点が区間内にある。
- \(a\ge2\)：頂点は区間の右側にあり、区間では減少するので \(x=2\) で最小。
端の値は \(y(0)=2a, y(2)=4-2a\) です。
\[ \boxed{\text{最小値 }\begin{cases}2a&(a\le0)\\2a-a^2&(0\le a\le2)\\4-2a&(a\ge2)\end{cases}} \]
元のドリル
問5
平方完成すると \(y=-(x-a)^2+a^2+1\) です。頂点 \(x=a\) が区間内ならそこで最大になります。区間外では近い端点で最大です。
- \(a\le0\)：\(x=0\) で最大値1。
- \(0\le a\le2\)：\(x=a\) で最大値 \\(a^2+1\\)。
- \(a\ge2\)：\(x=2\) で最大値 \(-3+4a\)。
\[ \boxed{\text{最大値 }\begin{cases}1&(a\le0)\\a^2+1&(0\le a\le2)\\4a-3&(a\ge2)\end{cases}} \]
元のドリル
問6
端点の値はy(0)=a²+1、y(3)=(3−a)²+1です。差y(3)−y(0)=3²−23aより、最大値はa=\frac{3}{2}を境に選びます。最小値は頂点x=aが区間[0,3]の内外どこにあるかで分けます。
問7
端点の値はy(0)=a²+2、y(4)=(4−a)²+2です。差y(4)−y(0)=4²−24aより、最大値はa=2を境に選びます。最小値は頂点x=aが区間[0,4]の内外どこにあるかで分けます。
問8
端点の値はy(0)=a²+3、y(5)=(5−a)²+3です。差y(5)−y(0)=5²−25aより、最大値はa=\frac{5}{2}を境に選びます。最小値は頂点x=aが区間[0,5]の内外どこにあるかで分けます。
問9
端点の値はy(0)=a²+4、y(6)=(6−a)²+4です。差y(6)−y(0)=6²−26aより、最大値はa=3を境に選びます。最小値は頂点x=aが区間[0,6]の内外どこにあるかで分けます。
問10
端点の値はy(0)=a²+5、y(7)=(7−a)²+5です。差y(7)−y(0)=7²−27aより、最大値はa=\frac{7}{2}を境に選びます。最小値は頂点x=aが区間[0,7]の内外どこにあるかで分けます。
問11
端点の値はy(0)=a²+6、y(8)=(8−a)²+6です。差y(8)−y(0)=8²−28aより、最大値はa=4を境に選びます。最小値は頂点x=aが区間[0,8]の内外どこにあるかで分けます。
問12
端点の値はy(0)=a²+7、y(9)=(9−a)²+7です。差y(9)−y(0)=9²−29aより、最大値はa=\frac{9}{2}を境に選びます。最小値は頂点x=aが区間[0,9]の内外どこにあるかで分けます。
問13
端点の値はy(0)=a²+8、y(10)=(10−a)²+8です。差y(10)−y(0)=10²−210aより、最大値はa=5を境に選びます。最小値は頂点x=aが区間[0,10]の内外どこにあるかで分けます。
問14
端点の値はy(0)=a²+9、y(11)=(11−a)²+9です。差y(11)−y(0)=11²−211aより、最大値はa=\frac{11}{2}を境に選びます。最小値は頂点x=aが区間[0,11]の内外どこにあるかで分けます。
問15
端点の値はy(0)=a²+10、y(12)=(12−a)²+10です。差y(12)−y(0)=12²−212aより、最大値はa=6を境に選びます。最小値は頂点x=aが区間[0,12]の内外どこにあるかで分けます。
問16
端点の値はy(0)=a²+11、y(13)=(13−a)²+11です。差y(13)−y(0)=13²−213aより、最大値はa=\frac{13}{2}を境に選びます。最小値は頂点x=aが区間[0,13]の内外どこにあるかで分けます。
問17
端点の値はy(0)=a²+12、y(14)=(14−a)²+12です。差y(14)−y(0)=14²−214aより、最大値はa=7を境に選びます。最小値は頂点x=aが区間[0,14]の内外どこにあるかで分けます。
問18
端点の値はy(0)=a²+13、y(15)=(15−a)²+13です。差y(15)−y(0)=15²−215aより、最大値はa=\frac{15}{2}を境に選びます。最小値は頂点x=aが区間[0,15]の内外どこにあるかで分けます。
問19
端点の値はy(0)=a²+14、y(16)=(16−a)²+14です。差y(16)−y(0)=16²−216aより、最大値はa=8を境に選びます。最小値は頂点x=aが区間[0,16]の内外どこにあるかで分けます。
問20
端点の値はy(0)=a²+15、y(17)=(17−a)²+15です。差y(17)−y(0)=17²−217aより、最大値はa=\frac{17}{2}を境に選びます。最小値は頂点x=aが区間[0,17]の内外どこにあるかで分けます。