二次不等式の証明 | ドリル5（レベル5）

問題

任意の実数 x, y について、次の不等式を証明し、等号成立条件を答えなさい。

x^2+xy+y^2\ge 0

解答

平方完成する。

x^2+xy+y^2=\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\frac34y^2

ここで、

\left(x+\frac{y}{2}\right)^2\ge 0,\quad \frac34y^2\ge 0

である。

したがって、

x^2+xy+y^2\ge 0

が成り立つ。

等号は

y=0,\quad x+\frac{y}{2}=0

のとき、つまり

x=0,\quad y=0

のときに成り立つ。