数学II｜式と証明 ドリル第25回（定着練習）
注意事項
各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。
問題
問題1｜分数式の約分
\\(\frac{x^2-4}{x-2}\\)を簡単にし、定義域も示しなさい。
問題2｜分数式の加法
\(\frac1{x-2}+\frac1{x+2}\)を簡単にしなさい。
問題3｜等式の証明
\(x+y=8\)のとき\\(x^3+y^3=512-24xy\\)を証明しなさい。
問題4｜平方による不等式証明
実数x,yで\\(x^2+64y^2\ge 16xy\\)を証明し、等号成立条件を示しなさい。
問題5｜相加相乗平均
x>0で\(x+\frac{64}x\)の最小値と等号条件を求めなさい。
解答・解説
解答1｜分数式の約分
分子を(x−a)(x+a)に因数分解します。約分しても元の分母が0となる値は除外します。
\[
\boxed{x+2\quad(x\ne 2)}
\]
解答2｜分数式の加法
共通分母(x−a)(x+a)に通分し、分子(x+a)+(x−a)=2xをまとめます。
\[
\boxed{\frac{2x}{x^2-4}\quad(x\ne\pm 2)}
\]
解答3｜等式の証明
x³+y³=(x+y)³−3xy(x+y)にx+y=aを代入します。
\[
\boxed{\text{恒等式に条件を代入する}}
\]
解答4｜平方による不等式証明
左辺−右辺=(x−ay)²≥0。等号は平方の中身が0のときに限ります。
\[
\boxed{x=8y\text{のとき等号}}
\]
解答5｜相加相乗平均
2項が正なので相加相乗平均を使えます。積がa²、等号はx=a²/xよりx=aです。
\[
\boxed{\text{最小値}16,\quad x=8}
\]
復習記録
得点：____ / 50点 解き直す問題：____ 次回までに確認する公式・条件：____