数学II｜式と証明ドリル第23回（定着練習）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

\(\frac1{x-8}+\frac1{x+8}\)を簡単にしなさい。

\(x+y=7\)のとき\\(x^3+y^3=343-21xy\\)を証明しなさい。

実数x,yで\\(x^2+49y^2\ge 14xy\\)を証明し、等号成立条件を示しなさい。

x>0で\(x+\frac{49}x\)の最小値と等号条件を求めなさい。

\((x+7)(x+1)=x^2+px+q\)が恒等式となるp,qを求めなさい。

解答・解説

共通分母(x−a)(x+a)に通分し、分子(x+a)+(x−a)=2xをまとめます。

\boxed{\frac{2x}{x^2-64}\quad(x\ne\pm 8)}

x³+y³=(x+y)³−3xy(x+y)にx+y=aを代入します。

\boxed{\text{恒等式に条件を代入する}}

左辺−右辺=(x−ay)²≥0。等号は平方の中身が0のときに限ります。

\boxed{x=7y\text{のとき等号}}

2項が正なので相加相乗平均を使えます。積がa²、等号はx=a²/xよりx=aです。

\boxed{\text{最小値}14,\quad x=7}

左辺を展開し、同じ次数の係数を比較します。任意のxで成立することが恒等式の条件です。

\boxed{p=8,\quad q=7}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____