数学II｜式と証明 ドリル第19回（定着練習）
注意事項
各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。
問題
問題1｜平方による不等式証明
実数x,yで\\(x^2+25y^2\ge 10xy\\)を証明し、等号成立条件を示しなさい。
問題2｜相加相乗平均
x>0で\(x+\frac{25}x\)の最小値と等号条件を求めなさい。
問題3｜恒等式の係数比較
\((x+5)(x+1)=x^2+px+q\)が恒等式となるp,qを求めなさい。
問題4｜剰余定理
\(P(x)=x^3+1x+1\)を\(x-5\)で割った余りを求めなさい。
問題5｜3次式の展開
\((x+8)^3\)を展開しなさい。
解答・解説
解答1｜平方による不等式証明
左辺−右辺=(x−ay)²≥0。等号は平方の中身が0のときに限ります。
\[
\boxed{x=5y\text{のとき等号}}
\]
解答2｜相加相乗平均
2項が正なので相加相乗平均を使えます。積がa²、等号はx=a²/xよりx=aです。
\[
\boxed{\text{最小値}10,\quad x=5}
\]
解答3｜恒等式の係数比較
左辺を展開し、同じ次数の係数を比較します。任意のxで成立することが恒等式の条件です。
\[
\boxed{p=6,\quad q=5}
\]
解答4｜剰余定理
剰余定理より余りはP(a)です。
\[
\boxed{131}
\]
解答5｜3次式の展開
(u+v)³=u³+3u²v+3uv²+v³を使います。
\[
\boxed{x^3+24x^2+192x+512}
\]
復習記録
得点：____ / 50点 解き直す問題：____ 次回までに確認する公式・条件：____