数学II｜式と証明 ドリル第16回（定着練習）
注意事項
各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。
問題
問題1｜整式の除法
\\(x^2+5x+2\\)を\(x-1\)で割った商と余りを求めなさい。
問題2｜分数式の約分
\\(\frac{x^2-25}{x-5}\\)を簡単にし、定義域も示しなさい。
問題3｜分数式の加法
\(\frac1{x-5}+\frac1{x+5}\)を簡単にしなさい。
問題4｜等式の証明
\(x+y=4\)のとき\\(x^3+y^3=64-12xy\\)を証明しなさい。
問題5｜平方による不等式証明
実数x,yで\\(x^2+16y^2\ge 8xy\\)を証明し、等号成立条件を示しなさい。
解答・解説
解答1｜整式の除法
筆算で商を求めます。余りは割る式の次数より小さく、ここでは定数です。
\[
\boxed{Q=x+6,\quad R=8}
\]
解答2｜分数式の約分
分子を(x−a)(x+a)に因数分解します。約分しても元の分母が0となる値は除外します。
\[
\boxed{x+5\quad(x\ne 5)}
\]
解答3｜分数式の加法
共通分母(x−a)(x+a)に通分し、分子(x+a)+(x−a)=2xをまとめます。
\[
\boxed{\frac{2x}{x^2-25}\quad(x\ne\pm 5)}
\]
解答4｜等式の証明
x³+y³=(x+y)³−3xy(x+y)にx+y=aを代入します。
\[
\boxed{\text{恒等式に条件を代入する}}
\]
解答5｜平方による不等式証明
左辺−右辺=(x−ay)²≥0。等号は平方の中身が0のときに限ります。
\[
\boxed{x=4y\text{のとき等号}}
\]
復習記録
得点：____ / 50点 解き直す問題：____ 次回までに確認する公式・条件：____