数学II｜複素数と方程式ドリル第33回（総合復習）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

\\(x^2-8x+k=0\\)が重解をもつkと重解を求めなさい。

\((8+3i)(1-i)\)を計算しなさい。

\(\frac{6+3i}{6-3i}\)を実部と虚部に分けなさい。

\\(x^2-9x+18=0\\)の解をα,βとして、α+β、αβ、α²+β²を求めなさい。

\(P(x)=x^3-5x^2+2x-10\)がx−5を因数にもつことを示し、因数分解しなさい。

解答・解説

判別式を0にするとk=a²。そのとき(x−a)²=0です。

\boxed{k=16,\quad x=4}

分配法則で展開し、i²=−1を用いて実部・虚部をまとめます。

\boxed{11-5i}

分母・分子に分母の共役a+biを掛け、分母をa²+b²にします。

\boxed{\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i}

解の和と積を係数から読み、平方の和は(α+β)²−2αβで計算します。

\boxed{\alpha+\beta=9,\quad\alpha\beta=18,\quad\alpha^2+\beta^2=45}

P(a)=0を確かめると因数定理を使えます。商はx²+bです。

\boxed{P(x)=(x-5)(x^2+2)}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____