数学II｜複素数と方程式 ドリル第31回（総合復習）
注意事項
各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。
問題
問題1｜複素数の四則
\((7+3i)(1-i)\)を計算しなさい。
問題2｜複素数の除法
\(\frac{5+3i}{5-3i}\)を実部と虚部に分けなさい。
問題3｜解と係数の関係
\\(x^2-8x+15=0\\)の解をα,βとして、α+β、αβ、α²+β²を求めなさい。
問題4｜因数定理
\(P(x)=x^3-4x^2+2x-8\)がx−4を因数にもつことを示し、因数分解しなさい。
問題5｜複二次方程式
\(x^4-(20)x^2+64=0\)を解きなさい。
解答・解説
解答1｜複素数の四則
分配法則で展開し、i²=−1を用いて実部・虚部をまとめます。
\[
\boxed{10-4i}
\]
解答2｜複素数の除法
分母・分子に分母の共役a+biを掛け、分母をa²+b²にします。
\[
\boxed{\frac{8}{17}+\frac{15}{17}i}
\]
解答3｜解と係数の関係
解の和と積を係数から読み、平方の和は(α+β)²−2αβで計算します。
\[
\boxed{\alpha+\beta=8,\quad\alpha\beta=15,\quad\alpha^2+\beta^2=34}
\]
解答4｜因数定理
P(a)=0を確かめると因数定理を使えます。商はx²+bです。
\[
\boxed{P(x)=(x-4)(x^2+2)}
\]
解答5｜複二次方程式
t=x²とおくと(t−a²)(t−b²)=0。最後にxへ戻し、2つの値が同じなら重複を除きます。
\[
\boxed{x=\pm 4,\ \pm 2}
\]
復習記録
得点：____ / 50点 解き直す問題：____ 次回までに確認する公式・条件：____