数学II｜複素数と方程式 ドリル第07回（基礎確認）
注意事項
各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。
問題
問題1｜複素数の四則
\((7+1i)(1-i)\)を計算しなさい。
問題2｜共役複素数
\(z=7+1i\)の共役と、\(z\overline z\)を求めなさい。
問題3｜複素数の除法
\(\frac{7+1i}{7-1i}\)を実部と虚部に分けなさい。
問題4｜虚数解をもつ2次方程式
\\(x^2-14x+50=0\\)を複素数の範囲で解きなさい。
問題5｜解と係数の関係
\\(x^2-8x+7=0\\)の解をα,βとして、α+β、αβ、α²+β²を求めなさい。
解答・解説
解答1｜複素数の四則
分配法則で展開し、i²=−1を用いて実部・虚部をまとめます。
\[
\boxed{8-6i}
\]
解答2｜共役複素数
共役は虚部の符号だけを変えます。積は実部の平方と虚部の平方の和です。
\[
\boxed{\overline z=7-i,\quad z\overline z=50}
\]
解答3｜複素数の除法
分母・分子に分母の共役a+biを掛け、分母をa²+b²にします。
\[
\boxed{\frac{24}{25}+\frac{7}{25}i}
\]
解答4｜虚数解をもつ2次方程式
(x−7)²=−1よりx−7=±1iです。
\[
\boxed{x=7\pm 1i}
\]
解答5｜解と係数の関係
解の和と積を係数から読み、平方の和は(α+β)²−2αβで計算します。
\[
\boxed{\alpha+\beta=8,\quad\alpha\beta=7,\quad\alpha^2+\beta^2=50}
\]
復習記録
得点：____ / 50点 解き直す問題：____ 次回までに確認する公式・条件：____