数学II｜複素数と方程式ドリル第03回（基礎確認）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

\\(x^2-4x+3=0\\)の解をα,βとして、α+β、αβ、α²+β²を求めなさい。

2つの解が3+1iと3−1iで、最高次の係数が1の2次方程式を作りなさい。

\((4+1i)(1-i)\)を計算しなさい。

\(z=4+1i\)の共役と、\(z\overline z\)を求めなさい。

\(\frac{4+1i}{4-1i}\)を実部と虚部に分けなさい。

解答・解説

解の和と積を係数から読み、平方の和は(α+β)²−2αβで計算します。

\boxed{\alpha+\beta=4,\quad\alpha\beta=3,\quad\alpha^2+\beta^2=10}

(x−α)(x−β)=0を展開します。共役な解なので係数は実数になります。

\boxed{x^2-6x+10=0}

分配法則で展開し、i²=−1を用いて実部・虚部をまとめます。

\boxed{5-3i}

共役は虚部の符号だけを変えます。積は実部の平方と虚部の平方の和です。

\boxed{\overline z=4-i,\quad z\overline z=17}

分母・分子に分母の共役a+biを掛け、分母をa²+b²にします。

\boxed{\frac{15}{17}+\frac{8}{17}i}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____