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数学I｜文字係数の二次方程式 練習問題集

10問・15問・20問から選び、ノートや印刷した用紙で練習しましょう。

全20問

日付：＿＿年＿＿月＿＿日　名前：＿＿＿＿＿＿＿＿

問題

問1

実数 (a) に対し、方程式 \(x^2-2ax+a^2-9=0\) を (x) について解きなさい。

問2

実数 (m) に対し、方程式 (x^2+(m-1)x-m=0) の解を求めなさい。また、重解となる (m) の値を答えなさい。

問3

実数 (a) に対し、方程式 (x^2-2(a+1)x+a^2+1=0) の実数解の個数を、(a) の値で場合分けして答えなさい。

問4

実数 (a) に対し、方程式 ((a-1)x^2+2x+1=0) の実数解の個数を、(a) の値で場合分けして答えなさい。

問5

実数 (p) に対し、方程式 \(x^2+2px+p+2=0\) が異なる2つの実数解をもつための (p) の範囲を求めなさい。

問6

実数aに対し、方程式x²−2ax+a²−9=0をxについて解きなさい。

問7

実数aに対し、方程式x²−2ax+a²−16=0をxについて解きなさい。

問8

実数aに対し、方程式x²−2ax+a²−25=0をxについて解きなさい。

問9

実数aに対し、方程式x²−2ax+a²−36=0をxについて解きなさい。

問10

実数aに対し、方程式x²−2ax+a²−49=0をxについて解きなさい。

問11

実数aに対し、方程式x²−2ax+a²−64=0をxについて解きなさい。

問12

実数aに対し、方程式x²−2ax+a²−81=0をxについて解きなさい。

問13

実数aに対し、方程式x²−2ax+a²−100=0をxについて解きなさい。

問14

実数aに対し、方程式x²−2ax+a²−121=0をxについて解きなさい。

問15

実数aに対し、方程式x²−2ax+a²−144=0をxについて解きなさい。

問16

実数aに対し、方程式x²−2ax+a²−169=0をxについて解きなさい。

問17

実数aに対し、方程式x²−2ax+a²−196=0をxについて解きなさい。

問18

実数aに対し、方程式x²−2ax+a²−225=0をxについて解きなさい。

問19

実数aに対し、方程式x²−2ax+a²−256=0をxについて解きなさい。

問20

実数aに対し、方程式x²−2ax+a²−289=0をxについて解きなさい。

解答・解説を見る

解答・解説

問1

平方の差に因数分解します。

\[ x^2-2ax+a^2-9=(x-a)^2-9=(x-a-3)(x-a+3) \]

よって、

\[ \boxed{x=a+3,\quad x=a-3} \]

元のドリル

問2

左辺を因数分解すると、

\[ x^2+(m-1)x-m=(x-1)(x+m) \]

したがって解は (x=1,-m) です。2つの解が一致する条件は (1=-m) なので、

\[ \boxed{x=1,-m\quad (m=-1\text{ のとき重解 }x=1)} \]

元のドリル

問3

判別式 (D) を計算します。

\[ D=\{ -2(a+1)\}^2-4(a^2+1)=8a \]

(D>0) なら2個、(D=0) なら1個、(D<0) なら実数解はありません。

\[ \boxed{a>0\text{ のとき2個},\quad a=0\text{ のとき1個},\quad a<0\text{ のとき0個}} \]

元のドリル

問4

(a=1) では二次の項が消え、(2x+1=0) となるため実数解は1個です。

(a\ne1) では二次方程式であり、判別式は

\[ D=2^2-4(a-1)=4(2-a) \]

です。よって、

\[ \boxed{a<1\text{ のとき2個},\quad a=1\text{ のとき1個},\quad 1<a<2\text{ のとき2個},\quad a=2\text{ のとき1個},\quad a>2\text{ のとき0個}} \]

元のドリル

問5

異なる2つの実数解をもつ条件は (D>0) です。

\[ D=(2p)^2-4(p+2)=4(p^2-p-2)=4(p-2)(p+1) \]

したがって、

\[ (p-2)(p+1)>0 \]

となる範囲を求めます。

\[ \boxed{p<-1\quad\text{または}\quad p>2} \]

元のドリル

問6

左辺は(x−a)²−3²=(x−a−3)(x−a+3)と因数分解できます。各因数を0とします。

\[ \boxed{x=a\pm 3} \]

問7

左辺は(x−a)²−4²=(x−a−4)(x−a+4)と因数分解できます。各因数を0とします。

\[ \boxed{x=a\pm 4} \]

問8

左辺は(x−a)²−5²=(x−a−5)(x−a+5)と因数分解できます。各因数を0とします。

\[ \boxed{x=a\pm 5} \]

問9

左辺は(x−a)²−6²=(x−a−6)(x−a+6)と因数分解できます。各因数を0とします。

\[ \boxed{x=a\pm 6} \]

問10

左辺は(x−a)²−7²=(x−a−7)(x−a+7)と因数分解できます。各因数を0とします。

\[ \boxed{x=a\pm 7} \]

問11

左辺は(x−a)²−8²=(x−a−8)(x−a+8)と因数分解できます。各因数を0とします。

\[ \boxed{x=a\pm 8} \]

問12

左辺は(x−a)²−9²=(x−a−9)(x−a+9)と因数分解できます。各因数を0とします。

\[ \boxed{x=a\pm 9} \]

問13

左辺は(x−a)²−10²=(x−a−10)(x−a+10)と因数分解できます。各因数を0とします。

\[ \boxed{x=a\pm 10} \]

問14

左辺は(x−a)²−11²=(x−a−11)(x−a+11)と因数分解できます。各因数を0とします。

\[ \boxed{x=a\pm 11} \]

問15

左辺は(x−a)²−12²=(x−a−12)(x−a+12)と因数分解できます。各因数を0とします。

\[ \boxed{x=a\pm 12} \]

問16

左辺は(x−a)²−13²=(x−a−13)(x−a+13)と因数分解できます。各因数を0とします。

\[ \boxed{x=a\pm 13} \]

問17

左辺は(x−a)²−14²=(x−a−14)(x−a+14)と因数分解できます。各因数を0とします。

\[ \boxed{x=a\pm 14} \]

問18

左辺は(x−a)²−15²=(x−a−15)(x−a+15)と因数分解できます。各因数を0とします。

\[ \boxed{x=a\pm 15} \]

問19

左辺は(x−a)²−16²=(x−a−16)(x−a+16)と因数分解できます。各因数を0とします。

\[ \boxed{x=a\pm 16} \]

問20

左辺は(x−a)²−17²=(x−a−17)(x−a+17)と因数分解できます。各因数を0とします。

\[ \boxed{x=a\pm 17} \]

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