数学I｜文字係数の二次方程式

問題1｜文字を含む因数分解

実数 (a) に対し、方程式 \(x^2-2ax+a^2-9=0\) を (x) について解きなさい。

実数 (m) に対し、方程式 (x^2+(m-1)x-m=0) の解を求めなさい。また、重解となる (m) の値を答えなさい。

実数 (a) に対し、方程式 (x^2-2(a+1)x+a^2+1=0) の実数解の個数を、(a) の値で場合分けして答えなさい。

実数 (a) に対し、方程式 ((a-1)x^2+2x+1=0) の実数解の個数を、(a) の値で場合分けして答えなさい。

実数 (p) に対し、方程式 \(x^2+2px+p+2=0\) が異なる2つの実数解をもつための (p) の範囲を求めなさい。

解答・解説

平方の差に因数分解します。

\[ x^2-2ax+a^2-9=(x-a)^2-9=(x-a-3)(x-a+3) \]

よって、

\boxed{x=a+3,\quad x=a-3}

左辺を因数分解すると、

\[ x^2+(m-1)x-m=(x-1)(x+m) \]

したがって解は (x=1,-m) です。2つの解が一致する条件は (1=-m) なので、

\boxed{x=1,-m\quad (m=-1\text{ のとき重解 }x=1)}

判別式 (D) を計算します。

D=\{ -2(a+1)\}^2-4(a^2+1)=8a

(D>0) なら2個、(D=0) なら1個、(D<0) なら実数解はありません。

\boxed{a>0\text{ のとき2個},\quad a=0\text{ のとき1個},\quad a<0\text{ のとき0個}}

(a=1) では二次の項が消え、(2x+1=0) となるため実数解は1個です。

(a\ne1) では二次方程式であり、判別式は

\[ D=2^2-4(a-1)=4(2-a) \]

です。よって、

\boxed{a<1\text{ のとき2個},\quad a=1\text{ のとき1個},\quad 1<a<2\text{ のとき2個},\quad a=2\text{ のとき1個},\quad a>2\text{ のとき0個}}

異なる2つの実数解をもつ条件は (D>0) です。

\[ D=(2p)^2-4(p+2)=4(p^2-p-2)=4(p-2)(p+1) \]

したがって、

\[ (p-2)(p+1)>0 \]

となる範囲を求めます。

\boxed{p<-1\quad\text{または}\quad p>2}