正の式を利用した不等式の証明
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注意事項
- 途中式を省略せず、根拠が分かるように書くこと。
- 分母が正である条件を必ず確認すること。
- 等号成立条件も答えること。
第1問 基礎（10点）
x > -1 とする。
\[
t=x+1
\]
とおく。
次の問いに答えよ。
tの符号を答えよ。（4点）- 次の式を
tを用いて表せ。（6点）\[ \frac{x+1}{2}+\frac{2}{x+1} \]
第2問 標準（20点）
x > -1 のとき、次の不等式を証明せよ。
\[
\frac{x+1}{2}+\frac{2}{x+1}\ge 2
\]
第3問 応用（20点）
第2問の不等式について、次の問いに答えよ。
- 等号が成立する
xの値を求めよ。（10点） x > -1という条件が必要である理由を説明せよ。（10点）
ドリル練習
次の不等式を証明し、等号成立条件も答えよ。
練習1
a>0 のとき、
\[
\frac{a}{3}+\frac{3}{a}\ge 2
\]
を証明せよ。
練習2
y>2 のとき、
\[
\frac{y-2}{4}+\frac{4}{y-2}\ge 2
\]
を証明せよ。
練習3
m>-3 のとき、
\[
\frac{m+3}{5}+\frac{5}{m+3}\ge 2
\]
を証明せよ。
解答
第1問
x > -1より、\[ x+1>0 \]したがって、\[ t>0 \]2.\[ \frac{x+1}{2}+\frac{2}{x+1} = \frac{t}{2}+\frac{2}{t} \]
第2問
t=x+1 とおく。
x>-1 より、
\[
t>0
\]
である。
証明したい式は、
\[
\frac{t}{2}+\frac{2}{t}\ge 2
\]
と書ける。
左辺から右辺を引くと、
\[
\frac{t}{2}+\frac{2}{t}-2
\]
である。
通分すると、
\[
\frac{t}{2}+\frac{2}{t}-2 = \frac{t^2+4-4t}{2t}
\]
よって、
\[
\frac{t^2+4-4t}{2t} = \frac{(t-2)^2}{2t}
\]
ここで、
\[
(t-2)^2\ge 0
\]
かつ、
\[
2t>0
\]
である。
したがって、
\[
\frac{(t-2)^2}{2t}\ge 0
\]
よって、
\[
\frac{t}{2}+\frac{2}{t}-2\ge 0
\]
すなわち、
\[
\frac{t}{2}+\frac{2}{t}\ge 2
\]
したがって、
\[
\frac{x+1}{2}+\frac{2}{x+1}\ge 2
\]
が成り立つ。
第3問
- 等号が成立するのは、 \[ (t-2)^2=0 \]のときである。 したがって、\[ t=2 \]である。
t=x+1より、\[ x+1=2 \]したがって、\[ x=1 \] - この証明では分母に
2tが現れる。t=x+1なので、x>-1のときだけ\[ t>0 \]となり、\[ 2t>0 \]が保証される。 もしx+1<0なら、分母が負になり、同じ結論が成り立たないことがある。 実際、例えばx=-2のとき、\[ x+1=-1 \]なので、\[ \frac{x+1}{2}+\frac{2}{x+1} = \frac{-1}{2}+\frac{2}{-1} = -\frac{5}{2} \]となり、\[ -\frac{5}{2}\ge 2 \]は成り立たない。 したがって、x>-1という条件が必要である。
ドリル練習の答え
練習1
左辺から右辺を引くと、
\[
\frac{a}{3}+\frac{3}{a}-2 = \frac{a^2-6a+9}{3a} = \frac{(a-3)^2}{3a}
\]
a>0 より 3a>0 であり、
\[
(a-3)^2\ge 0
\]
なので、
\[
\frac{(a-3)^2}{3a}\ge 0
\]
したがって、
\[
\frac{a}{3}+\frac{3}{a}\ge 2
\]
が成り立つ。
等号成立は、
\[
a=3
\]
のときである。
練習2
t=y-2 とおく。
y>2 より、
\[
t>0
\]
である。
左辺から右辺を引くと、
\[
\frac{t}{4}+\frac{4}{t}-2 = \frac{t^2-8t+16}{4t} = \frac{(t-4)^2}{4t}
\]
t>0 より 4t>0 であり、
\[
(t-4)^2\ge 0
\]
なので、不等式は成り立つ。
等号成立は、
\[
t=4
\]
のときである。
したがって、
\[
y-2=4
\]
より、
\[
y=6
\]
である。
練習3
t=m+3 とおく。
m>-3 より、
\[
t>0
\]
である。
左辺から右辺を引くと、
\[
\frac{t}{5}+\frac{5}{t}-2 = \frac{t^2-10t+25}{5t} = \frac{(t-5)^2}{5t}
\]
t>0 より 5t>0 であり、
\[
(t-5)^2\ge 0
\]
なので、不等式は成り立つ。
等号成立は、
\[
t=5
\]
のときである。
したがって、
\[
m+3=5
\]
より、
\[
m=2
\]
である。
解説
この問題のポイントは、
\[
x+1
\]
をひとまとまりとして見ることである。
t=x+1 とおけば、式は
\[
\frac{t}{2}+\frac{2}{t}
\]
となる。
ここで t>0 であることを確認してから、
\[
\frac{t}{2}+\frac{2}{t}-2 = \frac{(t-2)^2}{2t}
\]
と変形する。
平方は常に 0 以上であり、分母も正であるため、不等式が証明できる。
等号成立条件は、平方部分が 0 になるときである。