早稲田大学系属早稲田実業学校高等部対策 数学模擬試験 第092回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
式の操作・動点・面積比と、整数・場合の数を横断する演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 整数条件・積の最大値の証明（20点）
正の整数x,yがx+y=227を満たします。
（1）xyをxの式で表しなさい。（4点）
（2）xyの最大値と、それを与える組(x,y)をすべて求めなさい。（6点）
（3）最大値が12882以下であることを、(x−y)²を使って証明しなさい。（10点）
第2問 放物線上の点・面積比と二次方程式（20点）
放物線y=x²上にA(−112,12544)、B(112,12544)があり、Oは原点です。P(t,t²)は−112<t<112を動きます。
（1）三角形OABの面積を求めなさい。（4点）
（2）三角形PABの面積がOABの\(\frac{3}{4}\)倍となるtをすべて求めなさい。（6点）
（3）そのような2点Pを結ぶ直線の式を求めなさい。（10点）
第3問 2本の線分の交点・面積比の証明（20点）
三角形ABCの面積は336cm²です。DはBCの中点、EはCA上の点でCE:EA=3:1です。ADとBEの交点をXとします。
（1）AX:XDを求め、面積比を使って説明しなさい。（4点）
（2）三角形ABXの面積を求めなさい。（6点）
（3）三角形CDXの面積を求めなさい。（10点）
第4問 余り・連続する整数の公倍数（20点）
正の整数nを3で割ると余りは2、4で割ると余りは3です。
（1）最小のnを求めなさい。（4点）
（2）1≦n≦1343で条件を満たすnの個数を求めなさい。（6点）
（3）(2)で条件を満たすnの和を、両端を組み合わせる方法で求めなさい。（10点）
第5問 整数の確率・重なりと排他的な条件（20点）
1から115までの整数を1個ずつ書いた115枚のカードから、等確率で1枚を選びます。選んだ整数をXとします。
（1）Xが3の倍数でも4の倍数でもある確率を求めなさい。（4点）
（2）Xが3の倍数または4の倍数である確率を求めなさい。（6点）
（3）Xが3の倍数または4の倍数であると分かったとき、その一方だけの倍数である確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
y=227−xよりxy=x(227−x)です。
答え：\\(\boxed{-x^2+227x}\\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
\(xy=\frac{227^2-(2x-227)^2}{4}\)。整数xでは2x−227の絶対値が最小になる中央の整数を選びます。
答え：\(\boxed{12882,\ (x,y)=(113,114),(114,113)}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
\(4xy=227^2-(x-y)^2\)。x−yは奇数なのでその2乗は1以上です。よってxy≦12882。差が±1で等号です。
答え：\\(\boxed{xy\leq 12882}\\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
底辺AB=224、高さ=12544なので面積は112³です。
答え：\(\boxed{1404928}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
共通底辺から(12544−t²)/12544=3/4。よってt²=3136。正負の2解とも区間内です。
答え：\(\boxed{t=\pm\frac{112}{\sqrt{4}}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
2点のy座標はt²で一致するので、水平な直線です。
答え：\(\boxed{y=3136}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
BD=DCなので[ABX]=[ACX]。共通の底辺EXを持つ△AEXと△CEXの面積比はAE:EC=1:3です。△ABXをuとすれば、△AEX=u/(4)、△CEX=3u/(4)。また△BCX=2[BDX]。△ABXと△BCXはBEを底辺とする高さの比AE:EC=1:3なので[BCX]=3u、[BDX]=3u/2。共通の頂点BからADへの高さによりAX:XD=u:(3u/2)=2:3です。
答え：\(\boxed{2:3}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
△ABDの面積は336/2。ADを2:3に分けるので[ABX]=(336/2)×2/(5)です。
答え：\(\boxed{\frac{336}{5}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
[CDX]=[BDX]=[ABD]−[ABX]です。
答え：\(\boxed{\frac{504}{5}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
n+1は3と4の公倍数です。連続する整数は互いに素なので最小公倍数は12。n=12k−1、kは正の整数です。
答え：\(\boxed{11}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
上限より12k−1≦1343、つまり1≦k≦112。
答え：\(\boxed{112}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
初項11と末項1343の和は1354。先頭と末尾の順を逆にした列を足すと各項がこの値で、全体の2倍が112倍になります。
答え：\(\boxed{75824}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
連続する整数は互いに素なので両方の倍数は12の倍数で、9個です。
答え：\(\boxed{\frac{9}{115}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
3の倍数38個と4の倍数28個を足し、二重に数えた公倍数9個を1回引くと57個です。
答え：\(\boxed{\frac{57}{115}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
条件の標本は57個。このうち重なりの9個を除いた48個が一方だけです。
答え：\(\boxed{\frac{16}{19}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。