早稲田大学系属早稲田実業学校高等部対策 数学模擬試験 第089回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
式の操作・動点・面積比と、整数・場合の数を横断する演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 絶対値・解の個数による場合分け（20点）
方程式\(|x-111|+|x-116|=k\)を考えます。kは実数です。
（1）左辺をx<111、111≦x≦116、x>116に分けて表しなさい。（4点）
（2）k=5のときの解をすべて求めなさい。（6点）
（3）kの値に応じて解をすべて求めなさい。（10点）
第2問 直線と放物線・座標と面積比（20点）
直線Lは\(y=(-106)x+555\)です。放物線y=x²との交点をx座標の小さい順にA,B、Lとy軸の交点をC、原点をOとします。
（1）A,Bの座標を求めなさい。（4点）
（2）三角形OACとOBCの面積比を求めなさい。（6点）
（3）Pは線分AB上でAP:PB=5:111を満たします。Pの座標を求めなさい。（10点）
第3問 2本の線分の交点・面積比の証明（20点）
三角形ABCの面積は555cm²です。DはBCの中点、EはCA上の点でCE:EA=5:1です。ADとBEの交点をXとします。
（1）AX:XDを求め、面積比を使って説明しなさい。（4点）
（2）三角形ABXの面積を求めなさい。（6点）
（3）三角形CDXの面積を求めなさい。（10点）
第4問 平方数・範囲から整数を絞る（20点）
nは0≦n≦1135を満たす整数で、\(\sqrt{n+12321}\)も整数です。
（1）根号の値がとり得る整数をすべて求めなさい。（4点）
（2）条件を満たすnをすべて求めなさい。（6点）
（3）条件を満たすすべてのnの和を求めなさい。（10点）
第5問 確率と移動・最初に到達する時刻（20点）
袋に赤玉111個、白玉5個があります。数直線上の点Pは原点から出発し、袋から等確率で玉を1個引くたびに、赤なら右へ1、白なら左へ1進みます。玉は毎回袋に戻し、よく混ぜます。
（1）2回後に原点にいる確率を求めなさい。（4点）
（2）5回後の座標が-1である確率を求めなさい。（6点）
（3）座標2に初めて到達するのが4回目である確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
各絶対値の中身の符号から、順に227−2x、5、2x−227です。
答え：\(\boxed{227-2x,\ 5,\ 2x-227}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
中央の区間では左辺が常に5。外側ではそれより大きいので、中央の全点が解です。
答え：\(\boxed{111\leq x\leq116}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
k<5は解なし。k=5は中央全体。k>5は外側の一次方程式を解き、各区間の条件を満たす2解を得ます。
答え：\(\boxed{k<5:\text{解なし};\ k=5:111\leq x\leq116;\ k>5:x=\frac{227-k}{2},\frac{227+k}{2}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
x²−(-106)x−555=(x+111)(x−5)なのでx=−111,5です。
答え：\(\boxed{A=(-111,12321),\ B=(5,25)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
共通底辺OCに対する高さは111と5です。
答え：\(\boxed{111:5}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
PはAから全体の5/116だけ進むので、x=−111+5。直線の式へ代入し、y=(-106)²+555です。
答え：\(\boxed{(-106,11791)}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
BD=DCなので[ABX]=[ACX]。共通の底辺EXを持つ△AEXと△CEXの面積比はAE:EC=1:5です。△ABXをuとすれば、△AEX=u/(6)、△CEX=5u/(6)。また△BCX=2[BDX]。△ABXと△BCXはBEを底辺とする高さの比AE:EC=1:5なので[BCX]=5u、[BDX]=5u/2。共通の頂点BからADへの高さによりAX:XD=u:(5u/2)=2:5です。
答え：\(\boxed{2:5}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
△ABDの面積は555/2。ADを2:5に分けるので[ABX]=(555/2)×2/(7)です。
答え：\(\boxed{\frac{555}{7}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
[CDX]=[BDX]=[ABD]−[ABX]です。
答え：\(\boxed{\frac{2775}{14}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
根号の中は12321から13456までなので、平方根の整数値は111から116までです。両端を含みます。
答え：\(\boxed{111,112,113,114,115,116}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
根号の値をkとするとn=k²−12321。候補を順に代入します。
答え：\(\boxed{0,223,448,675,904,1135}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
列挙した6個の値を足します。根号の整数性と範囲を満たす候補は(1)ですべて尽くしています。
答え：\(\boxed{3385}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
原点へ戻るのは赤白と白赤。各並びの確率は(111/116)×(5/116)で、2つを足します。
答え：\(\boxed{\frac{555}{6728}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
赤の回数をhとすれば移動量2h−5=4−5よりh=2。赤の位置2個を選ぶ並びは5×4/2=10通り。各並びの確率は(111/116)²×(5/116)^3です。
答え：\(\boxed{\frac{7700625}{10501708288}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
4回後に右へ2進むには赤3回・白1回。初めの2回が赤赤の並びは2回目で到達するので除きます。残るのは白赤赤赤、赤白赤赤の2通り。各確率は(111/116)³×(5/116)です。
答え：\(\boxed{\frac{6838155}{90531968}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。