早稲田大学系属早稲田実業学校高等部対策 数学模擬試験 第075回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
式の操作・動点・面積比と、整数・場合の数を横断する演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 絶対値・解の個数による場合分け（20点）
方程式\(|x-108|+|x-114|=k\)を考えます。kは実数です。
（1）左辺をx<108、108≦x≦114、x>114に分けて表しなさい。（4点）
（2）k=6のときの解をすべて求めなさい。（6点）
（3）kの値に応じて解をすべて求めなさい。（10点）
第2問 動点・折れ曲がる面積関数（20点）
長方形ABCDはAB=216cm、BC=12cmです。PはAからBを経てCまで毎秒1cmで動きます。出発t秒後の三角形APDの面積をS cm²とします。
（1）Sをtの式で、範囲を添えて表しなさい。（4点）
（2）S=648となる時刻をすべて求めなさい。（6点）
（3）Sの最大値と、それをとるすべての時刻を求めなさい。（10点）
第3問 2本の線分の交点・面積比の証明（20点）
三角形ABCの面積は648cm²です。DはBCの中点、EはCA上の点でCE:EA=6:1です。ADとBEの交点をXとします。
（1）AX:XDを求め、面積比を使って説明しなさい。（4点）
（2）三角形ABXの面積を求めなさい。（6点）
（3）三角形CDXの面積を求めなさい。（10点）
第4問 整式の割り算・約数と最小値（20点）
6以上の整数nについて\(\frac{n^2+648}n\)が整数になります。
（1）nが満たす約数の条件を説明しなさい。（4点）
（2）可能なnをすべて求めなさい。（6点）
（3）与えられた式の最小値と、そのときのnをすべて求めなさい。（10点）
第5問 整数の確率・重なりと排他的な条件（20点）
1から114までの整数を1個ずつ書いた114枚のカードから、等確率で1枚を選びます。選んだ整数をXとします。
（1）Xが6の倍数でも7の倍数でもある確率を求めなさい。（4点）
（2）Xが6の倍数または7の倍数である確率を求めなさい。（6点）
（3）Xが6の倍数または7の倍数であると分かったとき、その一方だけの倍数である確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
各絶対値の中身の符号から、順に222−2x、6、2x−222です。
答え：\(\boxed{222-2x,\ 6,\ 2x-222}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
中央の区間では左辺が常に6。外側ではそれより大きいので、中央の全点が解です。
答え：\(\boxed{108\leq x\leq114}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
k<6は解なし。k=6は中央全体。k>6は外側の一次方程式を解き、各区間の条件を満たす2解を得ます。
答え：\(\boxed{k<6:\text{解なし};\ k=6:108\leq x\leq114;\ k>6:x=\frac{222-k}{2},\frac{222+k}{2}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
AB上では底辺AP=t、高さAD=12よりS=6t。BC上では底辺AD=12、高さがAB=216で一定なのでS=1296です。
答え：\(\boxed{S=6t\ (0\leq t\leq216),\ S=1296\ (216\leq t\leq228)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
AB上の6t=648よりt=108。BC上の値は648より大きく、解はありません。
答え：\(\boxed{108}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
AB上で増加し、B以後は一定です。したがって216秒から228秒まで全時刻で最大です。
答え：\(\boxed{1296,\ 216\leq t\leq228}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
BD=DCなので[ABX]=[ACX]。共通の底辺EXを持つ△AEXと△CEXの面積比はAE:EC=1:6です。△ABXをuとすれば、△AEX=u/(7)、△CEX=6u/(7)。また△BCX=2[BDX]。△ABXと△BCXはBEを底辺とする高さの比AE:EC=1:6なので[BCX]=6u、[BDX]=6u/2。共通の頂点BからADへの高さによりAX:XD=u:(6u/2)=2:6です。
答え：\(\boxed{2:6}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
△ABDの面積は648/2。ADを2:6に分けるので[ABX]=(648/2)×2/(8)です。
答え：\(\boxed{81}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
[CDX]=[BDX]=[ABD]−[ABX]です。
答え：\(\boxed{243}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
式はn+648/nなので、nが整数なら残る648/nも整数であることが必要十分です。つまりnは648の正の約数です。
答え：\(\boxed{n\mid 648}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
648の正の約数を小さい順に調べ、6以上という条件を満たすものを挙げます。
答え：\(\boxed{6,8,9,12,18,24,27,36,54,72,81,108,162,216,324,648}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
a+bでab=648です。(a+b)²=(a−b)²+2592だから、差の絶対値が最小の約数の組で最小になります。(2)の約数を比べると該当するnは[24, 27]です。
答え：\(\boxed{51,\ n=24,27}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
連続する整数は互いに素なので両方の倍数は42の倍数で、2個です。
答え：\(\boxed{\frac{1}{57}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
6の倍数19個と7の倍数16個を足し、二重に数えた公倍数2個を1回引くと33個です。
答え：\(\boxed{\frac{11}{38}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
条件の標本は33個。このうち重なりの2個を除いた31個が一方だけです。
答え：\(\boxed{\frac{31}{33}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。