早稲田大学系属早稲田実業学校高等部対策 数学模擬試験 第072回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
式の操作・動点・面積比と、整数・場合の数を横断する演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 逆数を含む条件式・式の値（20点）
xは正の数で、\(x+\frac{3}{x}=111\)を満たします。
（1）\\(x^2+\frac{9}{x^2}\\)を求めなさい。（4点）
（2）\(x^3+\frac{27}{x^3}\)を求めなさい。（6点）
（3）\(x^4+\frac{81}{x^4}\)を求めなさい。（10点）
第2問 放物線と弦・三角形の面積最大（20点）
放物線y=x²上にA(−108,11664)、B(3,9)があります。P(t,t²)は−108≦t≦3を動きます。
（1）直線ABの式を求めなさい。（4点）
（2）三角形ABPの面積Sをtの式で表しなさい。（6点）
（3）Sの最大値と、そのときのtを求め、最大である理由を示しなさい。（10点）
第3問 角の二等分線・面積と等距離の証明（20点）
三角形ABCはAB=111cm、AC=114cm、BC=219cmです。∠Aの二等分線とBCの交点をD、∠Bの二等分線とADの交点をIとします。Iは三角形の内部にあります。
（1）BD:DC=AB:ACを、面積比を使って証明しなさい。（4点）
（2）BDの長さを求めなさい。（6点）
（3）Iから3本の直線AB,BC,CAまでの距離が等しいことを証明しなさい。（10点）
第4問 整数方程式・積への変形（20点）
整数x,yはx>108、y>108を満たし、\(xy=108(x+y)+(-11655)\)が成立します。
（1）(x−108)(y−108)の値を求めなさい。（4点）
（2）組(x,y)をすべて求めなさい。順序の異なる組は別とします。（6点）
（3）x+yの最小値と、そのときの組を求め、最小であることを示しなさい。（10点）
第5問 2回の抽出・順序と条件付き数え上げ（20点）
1から111までの整数を1枚ずつ書いた111枚のカードがあります。1枚を引き、戻して混ぜてからもう1枚引きます。1回目をa、2回目をbとします。
（1）a+b=220である確率を求めなさい。（4点）
（2）abが偶数である確率を求めなさい。（6点）
（3）a≠bであると分かったとき、a+b=220である確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
条件式を2乗するとx²+6+9/x²=12321です。
答え：\(\boxed{12315}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
(x+3/x)(x²+9/x²)=x³+27/x³+3(x+3/x)なので、111×12315−3×111です。
答え：\(\boxed{1366632}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
(x²+9/x²)²=x⁴+81/x⁴+18より、12315²−18です。
答え：\(\boxed{151659207}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
傾きは(9−11664)/(111)=-105。Aを代入すると切片は324です。
答え：\(\boxed{y=(-105)x+324}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
Pと同じx座標の弦上の点をQとするとPQ=(-105)t+324−t²=(t+108)(3−t)。面積は左右に分けてPQ×(111)/2です。
答え：\(\boxed{S=\frac{111}2(t+108)(3-t)}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
(t+108)(3−t)=\(\frac{12321}4-(t+\frac{105}{2})^2\)。2乗の項が0で最大になり、そのtは指定区間内です。
答え：\(\boxed{S_{\max}=\frac{1367631}{8},\ t=-\frac{105}{2}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
DからAB,ACへ垂線を下ろすと、ADを共通の斜辺とし∠BAD=∠DACの直角三角形は合同で、垂線の長さが等しい。したがって[ABD]:[ACD]=AB:AC。一方、BCへの高さは共通なのでその面積比はBD:DCです。
答え：\(\boxed{BD:DC=111:114}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
BD+DC=219、比が111:114よりBD=219×111/(225)です。
答え：\(\boxed{\frac{2701}{25}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
IからAB,ACへの垂線は、AIを共通の斜辺とし等しい角を持つ直角三角形の合同から等しい。同様にBIが∠Bを二等分するため、AB,BCへの垂線も等しい。よって3距離が等しい。
答え：\(\boxed{d(I,AB)=d(I,BC)=d(I,CA)}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
両辺に11664を加えて積にすると(x−108)(y−108)=9です。
答え：\(\boxed{9}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
x−108は9の正の約数[1, 3, 9]です。各約数dについてy−108=9/dとすれば、すべての解になります。
答え：\(\boxed{(109,117),\ (111,111),\ (117,109)}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
a=x−108、b=y−108とするとab=9。\((a+b)^2=(a-b)^2+36\geq36\)よりa+b≧6。等号はa=b=3で実現します。
答え：\(\boxed{222,\ (x,y)=(111,111)}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
(a,b)は順序のある12321組。指定された和に対してaが109から111のときだけbも範囲に入り、3組です。
答え：\(\boxed{\frac{1}{4107}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
積が奇数なのは両方奇数の場合だけ。奇数は56枚なので、全体から3136組を除きます。
答え：\(\boxed{\frac{9185}{12321}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
a≠bの組は12210組。和が指定値で同じ数になる組を(1)から除くと2組残ります。
答え：\(\boxed{\frac{1}{6105}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。