早稲田大学系属早稲田実業学校高等部対策 数学模擬試験 第065回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
式の操作・動点・面積比と、整数・場合の数を横断する演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 絶対値・解の個数による場合分け（20点）
方程式\(|x-106|+|x-112|=k\)を考えます。kは実数です。
（1）左辺をx<106、106≦x≦112、x>112に分けて表しなさい。（4点）
（2）k=6のときの解をすべて求めなさい。（6点）
（3）kの値に応じて解をすべて求めなさい。（10点）
第2問 放物線上の点・面積比と二次方程式（20点）
放物線y=x²上にA(−106,11236)、B(106,11236)があり、Oは原点です。P(t,t²)は−106<t<106を動きます。
（1）三角形OABの面積を求めなさい。（4点）
（2）三角形PABの面積がOABの\(\frac{6}{7}\)倍となるtをすべて求めなさい。（6点）
（3）そのような2点Pを結ぶ直線の式を求めなさい。（10点）
第3問 円の弦・接線と相似（20点）
中心O、半径112cmの円に弦ABがあります。弦の中点をHとしOH=106cmです。A,Bでの接線の交点をTとします。O,H,Tはこの順に一直線上にあります。
（1）ABの長さを求めなさい。（4点）
（2）OTの長さを、相似の根拠を示して求めなさい。（6点）
（3）TAの長さを求めなさい。（10点）
第4問 余り・連続する整数の公倍数（20点）
正の整数nを6で割ると余りは5、7で割ると余りは6です。
（1）最小のnを求めなさい。（4点）
（2）1≦n≦4451で条件を満たすnの個数を求めなさい。（6点）
（3）(2)で条件を満たすnの和を、両端を組み合わせる方法で求めなさい。（10点）
第5問 2回の抽出・順序と条件付き数え上げ（20点）
1から112までの整数を1枚ずつ書いた112枚のカードがあります。1枚を引き、戻して混ぜてからもう1枚引きます。1回目をa、2回目をbとします。
（1）a+b=219である確率を求めなさい。（4点）
（2）abが偶数である確率を求めなさい。（6点）
（3）a≠bであると分かったとき、a+b=219である確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
各絶対値の中身の符号から、順に218−2x、6、2x−218です。
答え：\(\boxed{218-2x,\ 6,\ 2x-218}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
中央の区間では左辺が常に6。外側ではそれより大きいので、中央の全点が解です。
答え：\(\boxed{106\leq x\leq112}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
k<6は解なし。k=6は中央全体。k>6は外側の一次方程式を解き、各区間の条件を満たす2解を得ます。
答え：\(\boxed{k<6:\text{解なし};\ k=6:106\leq x\leq112;\ k>6:x=\frac{218-k}{2},\frac{218+k}{2}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
底辺AB=212、高さ=11236なので面積は106³です。
答え：\(\boxed{1191016}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
共通底辺から(11236−t²)/11236=6/7。よってt²=\frac{11236}{7}。正負の2解とも区間内です。
答え：\(\boxed{t=\pm\frac{106}{\sqrt{7}}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
2点のy座標はt²で一致するので、水平な直線です。
答え：\(\boxed{y=\frac{11236}{7}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
OH⊥ABなのでAH²=12544−11236=1308。弦はAHの2倍です。
答え：\(\boxed{2\sqrt{1308}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
OA⊥AT、OH⊥AH、∠AOT=∠HOAなので△OAT∽△OHA。OT/OA=OA/OHからOT=OA²/OHです。
答え：\(\boxed{\frac{6272}{53}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
TA²=OT²−OA²=12544(12544−11236)/11236。正の平方根を採ります。
答え：\(\boxed{\frac{112}{106}\sqrt{1308}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
n+1は6と7の公倍数です。連続する整数は互いに素なので最小公倍数は42。n=42k−1、kは正の整数です。
答え：\(\boxed{41}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
上限より42k−1≦4451、つまり1≦k≦106。
答え：\(\boxed{106}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
初項41と末項4451の和は4492。先頭と末尾の順を逆にした列を足すと各項がこの値で、全体の2倍が106倍になります。
答え：\(\boxed{238076}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
(a,b)は順序のある12544組。指定された和に対してaが107から112のときだけbも範囲に入り、6組です。
答え：\(\boxed{\frac{3}{6272}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
積が奇数なのは両方奇数の場合だけ。奇数は56枚なので、全体から3136組を除きます。
答え：\(\boxed{\frac{3}{4}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
a≠bの組は12432組。和が指定値で同じ数になる組を(1)から除くと6組残ります。
答え：\(\boxed{\frac{1}{2072}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。