早稲田大学系属早稲田実業学校高等部対策 数学模擬試験 第063回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
式の操作・動点・面積比と、整数・場合の数を横断する演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 整数条件・積の最大値の証明（20点）
正の整数x,yがx+y=216を満たします。
（1）xyをxの式で表しなさい。（4点）
（2）xyの最大値と、それを与える組(x,y)をすべて求めなさい。（6点）
（3）最大値が11664以下であることを、(x−y)²を使って証明しなさい。（10点）
第2問 座標・距離の2乗と最小値（20点）
A(0,106)、B(8,106)、P(t,0)とします。
（1）PA²+PB²をtの式で表しなさい。（4点）
（2）PA²+PB²の最小値と、そのときのPの座標を求めなさい。（6点）
（3）PA²+PB²がその最小値より32だけ大きくなるPの座標をすべて求めなさい。（10点）
第3問 直角三角形・斜辺上の点への距離（20点）
三角形ABCは∠A=90°、AB=318cm、AC=424cmです。AからBCに下ろした垂線の足をH、BC上でBP:PC=4:1となる点をPとします。
（1）BCとAHの長さを求めなさい。（4点）
（2）BHの長さを求め、用いた相似を示しなさい。（6点）
（3）AP²の値を求めなさい。（10点）
第4問 整数方程式・積への変形（20点）
整数x,yはx>106、y>106を満たし、\(xy=106(x+y)+(-11220)\)が成立します。
（1）(x−106)(y−106)の値を求めなさい。（4点）
（2）組(x,y)をすべて求めなさい。順序の異なる組は別とします。（6点）
（3）x+yの最小値と、そのときの組を求め、最小であることを示しなさい。（10点）
第5問 整数の確率・重なりと排他的な条件（20点）
1から110までの整数を1個ずつ書いた110枚のカードから、等確率で1枚を選びます。選んだ整数をXとします。
（1）Xが4の倍数でも5の倍数でもある確率を求めなさい。（4点）
（2）Xが4の倍数または5の倍数である確率を求めなさい。（6点）
（3）Xが4の倍数または5の倍数であると分かったとき、その一方だけの倍数である確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
y=216−xよりxy=x(216−x)です。
答え：\\(\boxed{-x^2+216x}\\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
\(xy=\frac{216^2-(2x-216)^2}{4}\)。整数xでは2x−216の絶対値が最小になる中央の整数を選びます。
答え：\(\boxed{11664,\ (x,y)=(108,108)}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
\(4xy=216^2-(x-y)^2\)。2乗は0以上です。よってxy≦11664。差が0で等号です。
答え：\\(\boxed{xy\leq 11664}\\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
三平方よりPA²=t²+11236、PB²=(t−8)²+11236です。
答え：\(\boxed{2t^2-16t+22536}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
和は\(2(t-4)^2+22504\)。2乗は0以上なのでt=4で最小です。
答え：\(\boxed{22504,\ P=(4,0)}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
2(t−4)²=32よりt−4=±4。正負の両方を採ります。
答え：\(\boxed{(0,0),\ (8,0)}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
三平方でBC=530。面積をAB×AC/2=BC×AH/2と表すとAH=\frac{1272}{5}です。
答え：\(\boxed{BC=530,\ AH=\frac{1272}{5}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
△ABHと△CBAは直角と∠Bが等しいので相似。AB/BC=BH/AB、すなわちBH=AB²/BC=\frac{954}{5}です。
答え：\(\boxed{\frac{954}{5}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
BP=424。HP=|BP−BH|。三平方でAP²=AH²+(BP−BH)²を計算します。
答え：\(\boxed{\frac{595508}{5}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
両辺に11236を加えて積にすると(x−106)(y−106)=16です。
答え：\(\boxed{16}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
x−106は16の正の約数[1, 2, 4, 8, 16]です。各約数dについてy−106=16/dとすれば、すべての解になります。
答え：\(\boxed{(107,122),\ (108,114),\ (110,110),\ (114,108),\ (122,107)}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
a=x−106、b=y−106とするとab=16。\((a+b)^2=(a-b)^2+64\geq64\)よりa+b≧8。等号はa=b=4で実現します。
答え：\(\boxed{220,\ (x,y)=(110,110)}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
連続する整数は互いに素なので両方の倍数は20の倍数で、5個です。
答え：\(\boxed{\frac{1}{22}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
4の倍数27個と5の倍数22個を足し、二重に数えた公倍数5個を1回引くと44個です。
答え：\(\boxed{\frac{2}{5}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
条件の標本は44個。このうち重なりの5個を除いた39個が一方だけです。
答え：\(\boxed{\frac{39}{44}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。