早稲田大学系属早稲田実業学校高等部対策 数学模擬試験 第049回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
式の操作・動点・面積比と、整数・場合の数を横断する演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 整数条件・積の最大値の証明（20点）
正の整数x,yがx+y=99を満たします。
（1）xyをxの式で表しなさい。（4点）
（2）xyの最大値と、それを与える組(x,y)をすべて求めなさい。（6点）
（3）最大値が2450以下であることを、(x−y)²を使って証明しなさい。（10点）
第2問 放物線と弦・三角形の面積最大（20点）
放物線y=x²上にA(−47,2209)、B(5,25)があります。P(t,t²)は−47≦t≦5を動きます。
（1）直線ABの式を求めなさい。（4点）
（2）三角形ABPの面積Sをtの式で表しなさい。（6点）
（3）Sの最大値と、そのときのtを求め、最大である理由を示しなさい。（10点）
第3問 直角三角形・斜辺上の点への距離（20点）
三角形ABCは∠A=90°、AB=141cm、AC=188cmです。AからBCに下ろした垂線の足をH、BC上でBP:PC=5:1となる点をPとします。
（1）BCとAHの長さを求めなさい。（4点）
（2）BHの長さを求め、用いた相似を示しなさい。（6点）
（3）AP²の値を求めなさい。（10点）
第4問 余り・連続する整数の公倍数（20点）
正の整数nを5で割ると余りは4、6で割ると余りは5です。
（1）最小のnを求めなさい。（4点）
（2）1≦n≦1409で条件を満たすnの個数を求めなさい。（6点）
（3）(2)で条件を満たすnの和を、両端を組み合わせる方法で求めなさい。（10点）
第5問 2回の抽出・順序と条件付き数え上げ（20点）
1から52までの整数を1枚ずつ書いた52枚のカードがあります。1枚を引き、戻して混ぜてからもう1枚引きます。1回目をa、2回目をbとします。
（1）a+b=100である確率を求めなさい。（4点）
（2）abが偶数である確率を求めなさい。（6点）
（3）a≠bであると分かったとき、a+b=100である確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
y=99−xよりxy=x(99−x)です。
答え：\\(\boxed{-x^2+99x}\\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
\(xy=\frac{99^2-(2x-99)^2}{4}\)。整数xでは2x−99の絶対値が最小になる中央の整数を選びます。
答え：\(\boxed{2450,\ (x,y)=(49,50),(50,49)}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
\(4xy=99^2-(x-y)^2\)。x−yは奇数なのでその2乗は1以上です。よってxy≦2450。差が±1で等号です。
答え：\\(\boxed{xy\leq 2450}\\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
傾きは(25−2209)/(52)=-42。Aを代入すると切片は235です。
答え：\(\boxed{y=(-42)x+235}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
Pと同じx座標の弦上の点をQとするとPQ=(-42)t+235−t²=(t+47)(5−t)。面積は左右に分けてPQ×(52)/2です。
答え：\(\boxed{S=\frac{52}2(t+47)(5-t)}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
(t+47)(5−t)=\(\frac{2704}4-(t+21)^2\)。2乗の項が0で最大になり、そのtは指定区間内です。
答え：\(\boxed{S_{\max}=17576,\ t=-21}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
三平方でBC=235。面積をAB×AC/2=BC×AH/2と表すとAH=\frac{564}{5}です。
答え：\(\boxed{BC=235,\ AH=\frac{564}{5}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
△ABHと△CBAは直角と∠Bが等しいので相似。AB/BC=BH/AB、すなわちBH=AB²/BC=\frac{423}{5}です。
答え：\(\boxed{\frac{423}{5}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
BP=\frac{1175}{6}。HP=|BP−BH|。三平方でAP²=AH²+(BP−BH)²を計算します。
答え：\(\boxed{\frac{903481}{36}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
n+1は5と6の公倍数です。連続する整数は互いに素なので最小公倍数は30。n=30k−1、kは正の整数です。
答え：\(\boxed{29}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
上限より30k−1≦1409、つまり1≦k≦47。
答え：\(\boxed{47}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
初項29と末項1409の和は1438。先頭と末尾の順を逆にした列を足すと各項がこの値で、全体の2倍が47倍になります。
答え：\(\boxed{33793}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
(a,b)は順序のある2704組。指定された和に対してaが48から52のときだけbも範囲に入り、5組です。
答え：\(\boxed{\frac{5}{2704}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
積が奇数なのは両方奇数の場合だけ。奇数は26枚なので、全体から676組を除きます。
答え：\(\boxed{\frac{3}{4}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
a≠bの組は2652組。和が指定値で同じ数になる組を(1)から除くと4組残ります。
答え：\(\boxed{\frac{1}{663}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。