早稲田大学系属早稲田実業学校高等部対策 数学模擬試験 第042回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
式の操作・動点・面積比と、整数・場合の数を横断する演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 共役な平方根・対称式（20点）
A=\(\sqrt{49}+\sqrt{46}\)、B=\(\sqrt{49}-\sqrt{46}\)とします。
（1）ABを求めなさい。（4点）
（2）A²+B²を求めなさい。（6点）
（3）A⁴+B⁴を求めなさい。（10点）
第2問 直線と放物線・座標と面積比（20点）
直線Lは\(y=(-43)x+138\)です。放物線y=x²との交点をx座標の小さい順にA,B、Lとy軸の交点をC、原点をOとします。
（1）A,Bの座標を求めなさい。（4点）
（2）三角形OACとOBCの面積比を求めなさい。（6点）
（3）Pは線分AB上でAP:PB=3:46を満たします。Pの座標を求めなさい。（10点）
第3問 2本の線分の交点・面積比の証明（20点）
三角形ABCの面積は138cm²です。DはBCの中点、EはCA上の点でCE:EA=3:1です。ADとBEの交点をXとします。
（1）AX:XDを求め、面積比を使って説明しなさい。（4点）
（2）三角形ABXの面積を求めなさい。（6点）
（3）三角形CDXの面積を求めなさい。（10点）
第4問 余り・連続する整数の公倍数（20点）
正の整数nを3で割ると余りは2、4で割ると余りは3です。
（1）最小のnを求めなさい。（4点）
（2）1≦n≦551で条件を満たすnの個数を求めなさい。（6点）
（3）(2)で条件を満たすnの和を、両端を組み合わせる方法で求めなさい。（10点）
第5問 確率・戻さない抽出と情報による絞り込み（20点）
袋に赤玉46個、白玉3個があります。よく混ぜて同時に2個取り出します。どの2個の組も同様に確からしいとします。
（1）赤白1個ずつである確率を求めなさい。（4点）
（2）2個が同じ色である確率を求めなさい。（6点）
（3）「少なくとも1個は赤であった」と分かったとき、2個とも赤である確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
平方の差からAB=(49)−46です。
答え：\(\boxed{3}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
(A+B)²−2ABを使います。A+B=2√49なので、4×49−2×3です。
答え：\(\boxed{190}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
(A²+B²)²−2(AB)²に帰着します。\(190^2-2\times3^2\)。
答え：\(\boxed{36082}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
x²−(-43)x−138=(x+46)(x−3)なのでx=−46,3です。
答え：\(\boxed{A=(-46,2116),\ B=(3,9)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
共通底辺OCに対する高さは46と3です。
答え：\(\boxed{46:3}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
PはAから全体の3/49だけ進むので、x=−46+3。直線の式へ代入し、y=(-43)²+138です。
答え：\(\boxed{(-43,1987)}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
BD=DCなので[ABX]=[ACX]。共通の底辺EXを持つ△AEXと△CEXの面積比はAE:EC=1:3です。△ABXをuとすれば、△AEX=u/(4)、△CEX=3u/(4)。また△BCX=2[BDX]。△ABXと△BCXはBEを底辺とする高さの比AE:EC=1:3なので[BCX]=3u、[BDX]=3u/2。共通の頂点BからADへの高さによりAX:XD=u:(3u/2)=2:3です。
答え：\(\boxed{2:3}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
△ABDの面積は138/2。ADを2:3に分けるので[ABX]=(138/2)×2/(5)です。
答え：\(\boxed{\frac{138}{5}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
[CDX]=[BDX]=[ABD]−[ABX]です。
答え：\(\boxed{\frac{207}{5}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
n+1は3と4の公倍数です。連続する整数は互いに素なので最小公倍数は12。n=12k−1、kは正の整数です。
答え：\(\boxed{11}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
上限より12k−1≦551、つまり1≦k≦46。
答え：\(\boxed{46}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
初項11と末項551の和は562。先頭と末尾の順を逆にした列を足すと各項がこの値で、全体の2倍が46倍になります。
答え：\(\boxed{12926}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
全体は49×48/2=1176組。異色の組は46×3=138組です。
答え：\(\boxed{\frac{23}{196}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
赤2個は46×45/2組、白2個は3×2/2組なので合計1038組です。
答え：\(\boxed{\frac{173}{196}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
条件に合う組は全体から白2個を除いた1173組。どれも元々等確率なので、そのうち赤2個の1035組の割合を求めます。
答え：\(\boxed{\frac{15}{17}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。