早稲田大学系属早稲田実業学校高等部対策 数学模擬試験 第029回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
式の操作・動点・面積比と、整数・場合の数を横断する演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 整数条件・積の最大値の証明（20点）
正の整数x,yがx+y=91を満たします。
（1）xyをxの式で表しなさい。（4点）
（2）xyの最大値と、それを与える組(x,y)をすべて求めなさい。（6点）
（3）最大値が2070以下であることを、(x−y)²を使って証明しなさい。（10点）
第2問 放物線上の点・面積比と二次方程式（20点）
放物線y=x²上にA(−43,1849)、B(43,1849)があり、Oは原点です。P(t,t²)は−43<t<43を動きます。
（1）三角形OABの面積を求めなさい。（4点）
（2）三角形PABの面積がOABの\(\frac{5}{6}\)倍となるtをすべて求めなさい。（6点）
（3）そのような2点Pを結ぶ直線の式を求めなさい。（10点）
第3問 円の弦・接線と相似（20点）
中心O、半径48cmの円に弦ABがあります。弦の中点をHとしOH=43cmです。A,Bでの接線の交点をTとします。O,H,Tはこの順に一直線上にあります。
（1）ABの長さを求めなさい。（4点）
（2）OTの長さを、相似の根拠を示して求めなさい。（6点）
（3）TAの長さを求めなさい。（10点）
第4問 整数方程式・積への変形（20点）
整数x,yはx>43、y>43を満たし、\(xy=43(x+y)+(-1824)\)が成立します。
（1）(x−43)(y−43)の値を求めなさい。（4点）
（2）組(x,y)をすべて求めなさい。順序の異なる組は別とします。（6点）
（3）x+yの最小値と、そのときの組を求め、最小であることを示しなさい。（10点）
第5問 確率・戻さない抽出と情報による絞り込み（20点）
袋に赤玉43個、白玉5個があります。よく混ぜて同時に2個取り出します。どの2個の組も同様に確からしいとします。
（1）赤白1個ずつである確率を求めなさい。（4点）
（2）2個が同じ色である確率を求めなさい。（6点）
（3）「少なくとも1個は赤であった」と分かったとき、2個とも赤である確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
y=91−xよりxy=x(91−x)です。
答え：\\(\boxed{-x^2+91x}\\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
\(xy=\frac{91^2-(2x-91)^2}{4}\)。整数xでは2x−91の絶対値が最小になる中央の整数を選びます。
答え：\(\boxed{2070,\ (x,y)=(45,46),(46,45)}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
\(4xy=91^2-(x-y)^2\)。x−yは奇数なのでその2乗は1以上です。よってxy≦2070。差が±1で等号です。
答え：\\(\boxed{xy\leq 2070}\\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
底辺AB=86、高さ=1849なので面積は43³です。
答え：\(\boxed{79507}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
共通底辺から(1849−t²)/1849=5/6。よってt²=\frac{1849}{6}。正負の2解とも区間内です。
答え：\(\boxed{t=\pm\frac{43}{\sqrt{6}}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
2点のy座標はt²で一致するので、水平な直線です。
答え：\(\boxed{y=\frac{1849}{6}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
OH⊥ABなのでAH²=2304−1849=455。弦はAHの2倍です。
答え：\(\boxed{2\sqrt{455}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
OA⊥AT、OH⊥AH、∠AOT=∠HOAなので△OAT∽△OHA。OT/OA=OA/OHからOT=OA²/OHです。
答え：\(\boxed{\frac{2304}{43}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
TA²=OT²−OA²=2304(2304−1849)/1849。正の平方根を採ります。
答え：\(\boxed{\frac{48}{43}\sqrt{455}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
両辺に1849を加えて積にすると(x−43)(y−43)=25です。
答え：\(\boxed{25}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
x−43は25の正の約数[1, 5, 25]です。各約数dについてy−43=25/dとすれば、すべての解になります。
答え：\(\boxed{(44,68),\ (48,48),\ (68,44)}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
a=x−43、b=y−43とするとab=25。\((a+b)^2=(a-b)^2+100\geq100\)よりa+b≧10。等号はa=b=5で実現します。
答え：\(\boxed{96,\ (x,y)=(48,48)}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
全体は48×47/2=1128組。異色の組は43×5=215組です。
答え：\(\boxed{\frac{215}{1128}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
赤2個は43×42/2組、白2個は5×4/2組なので合計913組です。
答え：\(\boxed{\frac{913}{1128}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
条件に合う組は全体から白2個を除いた1118組。どれも元々等確率なので、そのうち赤2個の903組の割合を求めます。
答え：\(\boxed{\frac{21}{26}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。