早稲田大学系属早稲田実業学校高等部対策 数学模擬試験 第026回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
式の操作・動点・面積比と、整数・場合の数を横断する演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 絶対値・解の個数による場合分け（20点）
方程式\(|x-43|+|x-45|=k\)を考えます。kは実数です。
（1）左辺をx<43、43≦x≦45、x>45に分けて表しなさい。（4点）
（2）k=2のときの解をすべて求めなさい。（6点）
（3）kの値に応じて解をすべて求めなさい。（10点）
第2問 動点・折れ曲がる面積関数（20点）
長方形ABCDはAB=86cm、BC=4cmです。PはAからBを経てCまで毎秒1cmで動きます。出発t秒後の三角形APDの面積をS cm²とします。
（1）Sをtの式で、範囲を添えて表しなさい。（4点）
（2）S=86となる時刻をすべて求めなさい。（6点）
（3）Sの最大値と、それをとるすべての時刻を求めなさい。（10点）
第3問 折り返し・垂直二等分線と面積（20点）
長方形ABCDをA(0,0)、B(86,0)、C(86,4)、D(0,4)と置きます。AがCに重なるように折ると、折り目はABとP、CDとQで交わります。
（1）Pのx座標を求めなさい。（4点）
（2）Qのx座標を求めなさい。（6点）
（3）四角形APQDの面積を求めなさい。（10点）
第4問 余り・連続する整数の公倍数（20点）
正の整数nを2で割ると余りは1、3で割ると余りは2です。
（1）最小のnを求めなさい。（4点）
（2）1≦n≦257で条件を満たすnの個数を求めなさい。（6点）
（3）(2)で条件を満たすnの和を、両端を組み合わせる方法で求めなさい。（10点）
第5問 確率と移動・最初に到達する時刻（20点）
袋に赤玉43個、白玉2個があります。数直線上の点Pは原点から出発し、袋から等確率で玉を1個引くたびに、赤なら右へ1、白なら左へ1進みます。玉は毎回袋に戻し、よく混ぜます。
（1）2回後に原点にいる確率を求めなさい。（4点）
（2）2回後の座標が2である確率を求めなさい。（6点）
（3）座標2に初めて到達するのが4回目である確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
各絶対値の中身の符号から、順に88−2x、2、2x−88です。
答え：\(\boxed{88-2x,\ 2,\ 2x-88}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
中央の区間では左辺が常に2。外側ではそれより大きいので、中央の全点が解です。
答え：\(\boxed{43\leq x\leq45}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
k<2は解なし。k=2は中央全体。k>2は外側の一次方程式を解き、各区間の条件を満たす2解を得ます。
答え：\(\boxed{k<2:\text{解なし};\ k=2:43\leq x\leq45;\ k>2:x=\frac{88-k}{2},\frac{88+k}{2}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
AB上では底辺AP=t、高さAD=4よりS=2t。BC上では底辺AD=4、高さがAB=86で一定なのでS=172です。
答え：\(\boxed{S=2t\ (0\leq t\leq86),\ S=172\ (86\leq t\leq90)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
AB上の2t=86よりt=43。BC上の値は86より大きく、解はありません。
答え：\(\boxed{43}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
AB上で増加し、B以後は一定です。したがって86秒から90秒まで全時刻で最大です。
答え：\(\boxed{172,\ 86\leq t\leq90}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
PA=PCよりx²=(86−x)²+16。整理して2×86x=7412です。横の長さが縦より大きいので0<x<86を満たします。
答え：\(\boxed{\frac{1853}{43}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
QA=QCよりx²+16=(86−x)²。よってx=(7396−16)/(2×86)です。これも辺CD上です。
答え：\(\boxed{\frac{1845}{43}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
APとDQが平行な台形です。両底辺の和は86、高さは4なので面積は86×4/2です。
答え：\(\boxed{172}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
n+1は2と3の公倍数です。連続する整数は互いに素なので最小公倍数は6。n=6k−1、kは正の整数です。
答え：\(\boxed{5}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
上限より6k−1≦257、つまり1≦k≦43。
答え：\(\boxed{43}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
初項5と末項257の和は262。先頭と末尾の順を逆にした列を足すと各項がこの値で、全体の2倍が43倍になります。
答え：\(\boxed{5633}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
原点へ戻るのは赤白と白赤。各並びの確率は(43/45)×(2/45)で、2つを足します。
答え：\(\boxed{\frac{172}{2025}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
赤の回数をhとすれば移動量2h−2=4−2よりh=2。赤の位置2個を選ぶ並びは2×1/2=1通り。各並びの確率は(43/45)²×(2/45)^0です。
答え：\(\boxed{\frac{1849}{2025}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
4回後に右へ2進むには赤3回・白1回。初めの2回が赤赤の並びは2回目で到達するので除きます。残るのは白赤赤赤、赤白赤赤の2通り。各確率は(43/45)³×(2/45)です。
答え：\(\boxed{\frac{318028}{4100625}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。