早稲田大学系属早稲田実業学校高等部対策 数学模擬試験 第014回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
式の操作・動点・面積比と、整数・場合の数を横断する演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 逆数を含む条件式・式の値（20点）
xは正の数で、\(x+\frac{5}{x}=45\)を満たします。
（1）\\(x^2+\frac{25}{x^2}\\)を求めなさい。（4点）
（2）\(x^3+\frac{125}{x^3}\)を求めなさい。（6点）
（3）\(x^4+\frac{625}{x^4}\)を求めなさい。（10点）
第2問 放物線上の点・面積比と二次方程式（20点）
放物線y=x²上にA(−40,1600)、B(40,1600)があり、Oは原点です。P(t,t²)は−40<t<40を動きます。
（1）三角形OABの面積を求めなさい。（4点）
（2）三角形PABの面積がOABの\(\frac{5}{6}\)倍となるtをすべて求めなさい。（6点）
（3）そのような2点Pを結ぶ直線の式を求めなさい。（10点）
第3問 2本の線分の交点・面積比の証明（20点）
三角形ABCの面積は200cm²です。DはBCの中点、EはCA上の点でCE:EA=5:1です。ADとBEの交点をXとします。
（1）AX:XDを求め、面積比を使って説明しなさい。（4点）
（2）三角形ABXの面積を求めなさい。（6点）
（3）三角形CDXの面積を求めなさい。（10点）
第4問 平方数・範囲から整数を絞る（20点）
nは0≦n≦425を満たす整数で、\(\sqrt{n+1600}\)も整数です。
（1）根号の値がとり得る整数をすべて求めなさい。（4点）
（2）条件を満たすnをすべて求めなさい。（6点）
（3）条件を満たすすべてのnの和を求めなさい。（10点）
第5問 2回の抽出・順序と条件付き数え上げ（20点）
1から45までの整数を1枚ずつ書いた45枚のカードがあります。1枚を引き、戻して混ぜてからもう1枚引きます。1回目をa、2回目をbとします。
（1）a+b=86である確率を求めなさい。（4点）
（2）abが偶数である確率を求めなさい。（6点）
（3）a≠bであると分かったとき、a+b=86である確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
条件式を2乗するとx²+10+25/x²=2025です。
答え：\(\boxed{2015}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
(x+5/x)(x²+25/x²)=x³+125/x³+5(x+5/x)なので、45×2015−5×45です。
答え：\(\boxed{90450}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
(x²+25/x²)²=x⁴+625/x⁴+50より、2015²−50です。
答え：\(\boxed{4060175}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
底辺AB=80、高さ=1600なので面積は40³です。
答え：\(\boxed{64000}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
共通底辺から(1600−t²)/1600=5/6。よってt²=\frac{800}{3}。正負の2解とも区間内です。
答え：\(\boxed{t=\pm\frac{40}{\sqrt{6}}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
2点のy座標はt²で一致するので、水平な直線です。
答え：\(\boxed{y=\frac{800}{3}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
BD=DCなので[ABX]=[ACX]。共通の底辺EXを持つ△AEXと△CEXの面積比はAE:EC=1:5です。△ABXをuとすれば、△AEX=u/(6)、△CEX=5u/(6)。また△BCX=2[BDX]。△ABXと△BCXはBEを底辺とする高さの比AE:EC=1:5なので[BCX]=5u、[BDX]=5u/2。共通の頂点BからADへの高さによりAX:XD=u:(5u/2)=2:5です。
答え：\(\boxed{2:5}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
△ABDの面積は200/2。ADを2:5に分けるので[ABX]=(200/2)×2/(7)です。
答え：\(\boxed{\frac{200}{7}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
[CDX]=[BDX]=[ABD]−[ABX]です。
答え：\(\boxed{\frac{500}{7}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
根号の中は1600から2025までなので、平方根の整数値は40から45までです。両端を含みます。
答え：\(\boxed{40,41,42,43,44,45}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
根号の値をkとするとn=k²−1600。候補を順に代入します。
答え：\(\boxed{0,81,164,249,336,425}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
列挙した6個の値を足します。根号の整数性と範囲を満たす候補は(1)ですべて尽くしています。
答え：\(\boxed{1255}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
(a,b)は順序のある2025組。指定された和に対してaが41から45のときだけbも範囲に入り、5組です。
答え：\(\boxed{\frac{1}{405}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
積が奇数なのは両方奇数の場合だけ。奇数は23枚なので、全体から529組を除きます。
答え：\(\boxed{\frac{1496}{2025}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
a≠bの組は1980組。和が指定値で同じ数になる組を(1)から除くと4組残ります。
答え：\(\boxed{\frac{1}{495}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。