早稲田大学系属早稲田実業学校高等部対策 数学模擬試験 第003回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
式の操作・動点・面積比と、整数・場合の数を横断する演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 共役な平方根・対称式（20点）
A=\(\sqrt{42}+\sqrt{38}\)、B=\(\sqrt{42}-\sqrt{38}\)とします。
（1）ABを求めなさい。（4点）
（2）A²+B²を求めなさい。（6点）
（3）A⁴+B⁴を求めなさい。（10点）
第2問 動点・折れ曲がる面積関数（20点）
長方形ABCDはAB=76cm、BC=8cmです。PはAからBを経てCまで毎秒1cmで動きます。出発t秒後の三角形APDの面積をS cm²とします。
（1）Sをtの式で、範囲を添えて表しなさい。（4点）
（2）S=152となる時刻をすべて求めなさい。（6点）
（3）Sの最大値と、それをとるすべての時刻を求めなさい。（10点）
第3問 2本の線分の交点・面積比の証明（20点）
三角形ABCの面積は152cm²です。DはBCの中点、EはCA上の点でCE:EA=4:1です。ADとBEの交点をXとします。
（1）AX:XDを求め、面積比を使って説明しなさい。（4点）
（2）三角形ABXの面積を求めなさい。（6点）
（3）三角形CDXの面積を求めなさい。（10点）
第4問 規則性・部分和から各項を復元（20点）
第1段から第k段までの玉の合計が\(38k^2+4k\)個になるように並べます。kは正の整数です。
（1）第1段と第2段の玉の個数をそれぞれ求めなさい。（4点）
（2）第k段の玉の個数をkの式で表し、理由を説明しなさい。（6点）
（3）第6段から第12段までの合計個数を求めなさい。（10点）
第5問 確率と移動・最初に到達する時刻（20点）
袋に赤玉38個、白玉4個があります。数直線上の点Pは原点から出発し、袋から等確率で玉を1個引くたびに、赤なら右へ1、白なら左へ1進みます。玉は毎回袋に戻し、よく混ぜます。
（1）2回後に原点にいる確率を求めなさい。（4点）
（2）4回後の座標が0である確率を求めなさい。（6点）
（3）座標2に初めて到達するのが4回目である確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
平方の差からAB=(42)−38です。
答え：\(\boxed{4}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
(A+B)²−2ABを使います。A+B=2√42なので、4×42−2×4です。
答え：\(\boxed{160}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
(A²+B²)²−2(AB)²に帰着します。\(160^2-2\times4^2\)。
答え：\(\boxed{25568}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
AB上では底辺AP=t、高さAD=8よりS=4t。BC上では底辺AD=8、高さがAB=76で一定なのでS=304です。
答え：\(\boxed{S=4t\ (0\leq t\leq76),\ S=304\ (76\leq t\leq84)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
AB上の4t=152よりt=38。BC上の値は152より大きく、解はありません。
答え：\(\boxed{38}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
AB上で増加し、B以後は一定です。したがって76秒から84秒まで全時刻で最大です。
答え：\(\boxed{304,\ 76\leq t\leq84}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
BD=DCなので[ABX]=[ACX]。共通の底辺EXを持つ△AEXと△CEXの面積比はAE:EC=1:4です。△ABXをuとすれば、△AEX=u/(5)、△CEX=4u/(5)。また△BCX=2[BDX]。△ABXと△BCXはBEを底辺とする高さの比AE:EC=1:4なので[BCX]=4u、[BDX]=4u/2。共通の頂点BからADへの高さによりAX:XD=u:(4u/2)=2:4です。
答え：\(\boxed{2:4}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
△ABDの面積は152/2。ADを2:4に分けるので[ABX]=(152/2)×2/(6)です。
答え：\(\boxed{\frac{76}{3}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
[CDX]=[BDX]=[ABD]−[ABX]です。
答え：\(\boxed{\frac{152}{3}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
第1段は38+4。第2段は第2段までの合計(160)から第1段を引きます。
答え：\(\boxed{42,\ 118}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
k≧2では38k²+4k−{38(k−1)²+4(k−1)}=76k−34。k=1でも第1段の値と一致します。
答え：\(\boxed{76k-34}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
第12段までの合計から第5段までの合計を引きます。下限は第6段なので引くのは第5段までです。
答え：\(\boxed{4550}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
原点へ戻るのは赤白と白赤。各並びの確率は(38/42)×(4/42)で、2つを足します。
答え：\(\boxed{\frac{76}{441}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
赤の回数をhとすれば移動量2h−4=4−4よりh=2。赤の位置2個を選ぶ並びは4×3/2=6通り。各並びの確率は(38/42)²×(4/42)^2です。
答え：\(\boxed{\frac{2888}{64827}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
4回後に右へ2進むには赤3回・白1回。初めの2回が赤赤の並びは2回目で到達するので除きます。残るのは白赤赤赤、赤白赤赤の2通り。各確率は(38/42)³×(4/42)です。
答え：\(\boxed{\frac{27436}{194481}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。