早稲田大学高等学院対策 数学模擬試験 第092回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
整数部分の定義・境界の扱いと、関数・図形・確率の記述演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 逆数を含む条件式・式の値（20点）
xは正の数で、\(x+\frac{3}{x}=103\)を満たします。
（1）\\(x^2+\frac{9}{x^2}\\)を求めなさい。（4点）
（2）\(x^3+\frac{27}{x^3}\)を求めなさい。（6点）
（3）\(x^4+\frac{81}{x^4}\)を求めなさい。（10点）
第2問 座標・距離の2乗と最小値（20点）
A(0,100)、B(6,100)、P(t,0)とします。
（1）PA²+PB²をtの式で表しなさい。（4点）
（2）PA²+PB²の最小値と、そのときのPの座標を求めなさい。（6点）
（3）PA²+PB²がその最小値より18だけ大きくなるPの座標をすべて求めなさい。（10点）
第3問 角の二等分線・面積と等距離の証明（20点）
三角形ABCはAB=103cm、AC=106cm、BC=203cmです。∠Aの二等分線とBCの交点をD、∠Bの二等分線とADの交点をIとします。Iは三角形の内部にあります。
（1）BD:DC=AB:ACを、面積比を使って証明しなさい。（4点）
（2）BDの長さを求めなさい。（6点）
（3）Iから3本の直線AB,BC,CAまでの距離が等しいことを証明しなさい。（10点）
第4問 立方体の平面切断・正六角形（20点）
1辺6cmの立方体を0≦x,y,z≦6と表します。平面x+y+z=9で切断します。さらにこの立方体と相似で、辺が100倍の立方体も同じ位置の比で切断します。
（1）元の切断面の頂点を6個すべて挙げなさい。（4点）
（2）元の切断面の周の長さを求めなさい。（6点）
（3）辺が100倍の立方体の切断面の面積を求めなさい。（10点）
第5問 整数の確率・重なりと排他的な条件（20点）
1から103までの整数を1個ずつ書いた103枚のカードから、等確率で1枚を選びます。選んだ整数をXとします。
（1）Xが3の倍数でも4の倍数でもある確率を求めなさい。（4点）
（2）Xが3の倍数または4の倍数である確率を求めなさい。（6点）
（3）Xが3の倍数または4の倍数であると分かったとき、その一方だけの倍数である確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
条件式を2乗するとx²+6+9/x²=10609です。
答え：\(\boxed{10603}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
(x+3/x)(x²+9/x²)=x³+27/x³+3(x+3/x)なので、103×10603−3×103です。
答え：\(\boxed{1091800}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
(x²+9/x²)²=x⁴+81/x⁴+18より、10603²−18です。
答え：\(\boxed{112423591}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
三平方よりPA²=t²+10000、PB²=(t−6)²+10000です。
答え：\(\boxed{2t^2-12t+20036}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
和は\(2(t-3)^2+20018\)。2乗は0以上なのでt=3で最小です。
答え：\(\boxed{20018,\ P=(3,0)}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
2(t−3)²=18よりt−3=±3。正負の両方を採ります。
答え：\(\boxed{(0,0),\ (6,0)}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
DからAB,ACへ垂線を下ろすと、ADを共通の斜辺とし∠BAD=∠DACの直角三角形は合同で、垂線の長さが等しい。したがって[ABD]:[ACD]=AB:AC。一方、BCへの高さは共通なのでその面積比はBD:DCです。
答え：\(\boxed{BD:DC=103:106}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
BD+DC=203、比が103:106よりBD=203×103/(209)です。
答え：\(\boxed{\frac{20909}{209}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
IからAB,ACへの垂線は、AIを共通の斜辺とし等しい角を持つ直角三角形の合同から等しい。同様にBIが∠Bを二等分するため、AB,BCへの垂線も等しい。よって3距離が等しい。
答え：\(\boxed{d(I,AB)=d(I,BC)=d(I,CA)}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
1座標を0、別の座標を6とすると残りは3。(6,3,0)の6通りの並べ替えです。
答え：\(\boxed{(6,3,0),(6,0,3),(3,6,0),(0,6,3),(3,0,6),(0,3,6)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
隣り合う点の距離は√(9+9)=3√2。切断面は中心からの距離も等しい正六角形なので周は6倍です。
答え：\(\boxed{18\sqrt{2}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
辺長3√2の正六角形を6枚の正三角形に分けます。高さは三平方で辺の√3/2倍なので面積は39√3。相似比100の面積比は10000です。
答え：\(\boxed{270000\sqrt{3}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
連続する整数は互いに素なので両方の倍数は12の倍数で、8個です。
答え：\(\boxed{\frac{8}{103}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
3の倍数34個と4の倍数25個を足し、二重に数えた公倍数8個を1回引くと51個です。
答え：\(\boxed{\frac{51}{103}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
条件の標本は51個。このうち重なりの8個を除いた43個が一方だけです。
答え：\(\boxed{\frac{43}{51}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。