早稲田大学高等学院対策 数学模擬試験 第087回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
整数部分の定義・境界の扱いと、関数・図形・確率の記述演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 逆数を含む条件式・式の値（20点）
xは正の数で、\(x+\frac{3}{x}=102\)を満たします。
（1）\\(x^2+\frac{9}{x^2}\\)を求めなさい。（4点）
（2）\(x^3+\frac{27}{x^3}\)を求めなさい。（6点）
（3）\(x^4+\frac{81}{x^4}\)を求めなさい。（10点）
第2問 動点・折れ曲がる面積関数（20点）
長方形ABCDはAB=198cm、BC=6cmです。PはAからBを経てCまで毎秒1cmで動きます。出発t秒後の三角形APDの面積をS cm²とします。
（1）Sをtの式で、範囲を添えて表しなさい。（4点）
（2）S=297となる時刻をすべて求めなさい。（6点）
（3）Sの最大値と、それをとるすべての時刻を求めなさい。（10点）
第3問 2本の線分の交点・面積比の証明（20点）
三角形ABCの面積は297cm²です。DはBCの中点、EはCA上の点でCE:EA=3:1です。ADとBEの交点をXとします。
（1）AX:XDを求め、面積比を使って説明しなさい。（4点）
（2）三角形ABXの面積を求めなさい。（6点）
（3）三角形CDXの面積を求めなさい。（10点）
第4問 直方体表面の最短経路・展開図比較（20点）
3辺がa=99cm、b=102cm、c=105cmの直方体で、向かい合う頂点をA,Gとします。AからGまで表面上だけを進みます。
（1）2面を展開した3種類の経路の長さの2乗を、a,b,cで表しなさい。（4点）
（2）そのうち最短となる経路の長さを求めなさい。（6点）
（3）なぜその展開図が最短か、a<b<cを使って説明しなさい。（10点）
第5問 確率・戻さない抽出と情報による絞り込み（20点）
袋に赤玉99個、白玉3個があります。よく混ぜて同時に2個取り出します。どの2個の組も同様に確からしいとします。
（1）赤白1個ずつである確率を求めなさい。（4点）
（2）2個が同じ色である確率を求めなさい。（6点）
（3）「少なくとも1個は赤であった」と分かったとき、2個とも赤である確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
条件式を2乗するとx²+6+9/x²=10404です。
答え：\(\boxed{10398}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
(x+3/x)(x²+9/x²)=x³+27/x³+3(x+3/x)なので、102×10398−3×102です。
答え：\(\boxed{1060290}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
(x²+9/x²)²=x⁴+81/x⁴+18より、10398²−18です。
答え：\(\boxed{108118386}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
AB上では底辺AP=t、高さAD=6よりS=3t。BC上では底辺AD=6、高さがAB=198で一定なのでS=594です。
答え：\(\boxed{S=3t\ (0\leq t\leq198),\ S=594\ (198\leq t\leq204)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
AB上の3t=297よりt=99。BC上の値は297より大きく、解はありません。
答え：\(\boxed{99}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
AB上で増加し、B以後は一定です。したがって198秒から204秒まで全時刻で最大です。
答え：\(\boxed{594,\ 198\leq t\leq204}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
BD=DCなので[ABX]=[ACX]。共通の底辺EXを持つ△AEXと△CEXの面積比はAE:EC=1:3です。△ABXをuとすれば、△AEX=u/(4)、△CEX=3u/(4)。また△BCX=2[BDX]。△ABXと△BCXはBEを底辺とする高さの比AE:EC=1:3なので[BCX]=3u、[BDX]=3u/2。共通の頂点BからADへの高さによりAX:XD=u:(3u/2)=2:3です。
答え：\(\boxed{2:3}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
△ABDの面積は297/2。ADを2:3に分けるので[ABX]=(297/2)×2/(5)です。
答え：\(\boxed{\frac{297}{5}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
[CDX]=[BDX]=[ABD]−[ABX]です。
答え：\(\boxed{\frac{891}{10}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
展開図では長方形の対角線なので、(a+b)²+c²、(a+c)²+b²、(b+c)²+a²です。
答え：\(\boxed{(a+b)^2+c^2,\ (a+c)^2+b^2,\ (b+c)^2+a^2}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
最小は(a+b)²+c²=51426。三平方で正の平方根を採ります。
答え：\(\boxed{3\sqrt{5714}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
3式の共通部分はa²+b²+c²。残る部分は2ab,2ac,2bcで、a<b<cならab<ac<bcです。
答え：\\(\boxed{ab<ac<bc}\\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
全体は102×101/2=5151組。異色の組は99×3=297組です。
答え：\(\boxed{\frac{99}{1717}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
赤2個は99×98/2組、白2個は3×2/2組なので合計4854組です。
答え：\(\boxed{\frac{1618}{1717}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
条件に合う組は全体から白2個を除いた5148組。どれも元々等確率なので、そのうち赤2個の4851組の割合を求めます。
答え：\(\boxed{\frac{49}{52}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。