早稲田大学高等学院対策 数学模擬試験 第071回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
整数部分の定義・境界の扱いと、関数・図形・確率の記述演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 絶対値・解の個数による場合分け（20点）
方程式\(|x-96|+|x-98|=k\)を考えます。kは実数です。
（1）左辺をx<96、96≦x≦98、x>98に分けて表しなさい。（4点）
（2）k=2のときの解をすべて求めなさい。（6点）
（3）kの値に応じて解をすべて求めなさい。（10点）
第2問 直線と放物線・座標と面積比（20点）
直線Lは\(y=(-94)x+192\)です。放物線y=x²との交点をx座標の小さい順にA,B、Lとy軸の交点をC、原点をOとします。
（1）A,Bの座標を求めなさい。（4点）
（2）三角形OACとOBCの面積比を求めなさい。（6点）
（3）Pは線分AB上でAP:PB=2:96を満たします。Pの座標を求めなさい。（10点）
第3問 折り返し・垂直二等分線と面積（20点）
長方形ABCDをA(0,0)、B(192,0)、C(192,4)、D(0,4)と置きます。AがCに重なるように折ると、折り目はABとP、CDとQで交わります。
（1）Pのx座標を求めなさい。（4点）
（2）Qのx座標を求めなさい。（6点）
（3）四角形APQDの面積を求めなさい。（10点）
第4問 直方体表面の最短経路・展開図比較（20点）
3辺がa=96cm、b=98cm、c=100cmの直方体で、向かい合う頂点をA,Gとします。AからGまで表面上だけを進みます。
（1）2面を展開した3種類の経路の長さの2乗を、a,b,cで表しなさい。（4点）
（2）そのうち最短となる経路の長さを求めなさい。（6点）
（3）なぜその展開図が最短か、a<b<cを使って説明しなさい。（10点）
第5問 確率・戻さない抽出と情報による絞り込み（20点）
袋に赤玉96個、白玉2個があります。よく混ぜて同時に2個取り出します。どの2個の組も同様に確からしいとします。
（1）赤白1個ずつである確率を求めなさい。（4点）
（2）2個が同じ色である確率を求めなさい。（6点）
（3）「少なくとも1個は赤であった」と分かったとき、2個とも赤である確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
各絶対値の中身の符号から、順に194−2x、2、2x−194です。
答え：\(\boxed{194-2x,\ 2,\ 2x-194}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
中央の区間では左辺が常に2。外側ではそれより大きいので、中央の全点が解です。
答え：\(\boxed{96\leq x\leq98}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
k<2は解なし。k=2は中央全体。k>2は外側の一次方程式を解き、各区間の条件を満たす2解を得ます。
答え：\(\boxed{k<2:\text{解なし};\ k=2:96\leq x\leq98;\ k>2:x=\frac{194-k}{2},\frac{194+k}{2}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
x²−(-94)x−192=(x+96)(x−2)なのでx=−96,2です。
答え：\(\boxed{A=(-96,9216),\ B=(2,4)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
共通底辺OCに対する高さは96と2です。
答え：\(\boxed{96:2}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
PはAから全体の2/98だけ進むので、x=−96+2。直線の式へ代入し、y=(-94)²+192です。
答え：\(\boxed{(-94,9028)}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
PA=PCよりx²=(192−x)²+16。整理して2×192x=36880です。横の長さが縦より大きいので0<x<192を満たします。
答え：\(\boxed{\frac{2305}{24}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
QA=QCよりx²+16=(192−x)²。よってx=(36864−16)/(2×192)です。これも辺CD上です。
答え：\(\boxed{\frac{2303}{24}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
APとDQが平行な台形です。両底辺の和は192、高さは4なので面積は192×4/2です。
答え：\(\boxed{384}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
展開図では長方形の対角線なので、(a+b)²+c²、(a+c)²+b²、(b+c)²+a²です。
答え：\(\boxed{(a+b)^2+c^2,\ (a+c)^2+b^2,\ (b+c)^2+a^2}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
最小は(a+b)²+c²=47636。三平方で正の平方根を採ります。
答え：\(\boxed{2\sqrt{11909}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
3式の共通部分はa²+b²+c²。残る部分は2ab,2ac,2bcで、a<b<cならab<ac<bcです。
答え：\\(\boxed{ab<ac<bc}\\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
全体は98×97/2=4753組。異色の組は96×2=192組です。
答え：\(\boxed{\frac{192}{4753}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
赤2個は96×95/2組、白2個は2×1/2組なので合計4561組です。
答え：\(\boxed{\frac{4561}{4753}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
条件に合う組は全体から白2個を除いた4752組。どれも元々等確率なので、そのうち赤2個の4560組の割合を求めます。
答え：\(\boxed{\frac{95}{99}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。