早稲田大学高等学院対策 数学模擬試験 第058回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
整数部分の定義・境界の扱いと、関数・図形・確率の記述演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 逆数を含む条件式・式の値（20点）
xは正の数で、\(x+\frac{4}{x}=97\)を満たします。
（1）\\(x^2+\frac{16}{x^2}\\)を求めなさい。（4点）
（2）\(x^3+\frac{64}{x^3}\)を求めなさい。（6点）
（3）\(x^4+\frac{256}{x^4}\)を求めなさい。（10点）
第2問 放物線上の点・面積比と二次方程式（20点）
放物線y=x²上にA(−93,8649)、B(93,8649)があり、Oは原点です。P(t,t²)は−93<t<93を動きます。
（1）三角形OABの面積を求めなさい。（4点）
（2）三角形PABの面積がOABの\(\frac{4}{5}\)倍となるtをすべて求めなさい。（6点）
（3）そのような2点Pを結ぶ直線の式を求めなさい。（10点）
第3問 直角三角形・斜辺上の点への距離（20点）
三角形ABCは∠A=90°、AB=279cm、AC=372cmです。AからBCに下ろした垂線の足をH、BC上でBP:PC=4:1となる点をPとします。
（1）BCとAHの長さを求めなさい。（4点）
（2）BHの長さを求め、用いた相似を示しなさい。（6点）
（3）AP²の値を求めなさい。（10点）
第4問 立方体の平面切断・正六角形（20点）
1辺8cmの立方体を0≦x,y,z≦8と表します。平面x+y+z=12で切断します。さらにこの立方体と相似で、辺が93倍の立方体も同じ位置の比で切断します。
（1）元の切断面の頂点を6個すべて挙げなさい。（4点）
（2）元の切断面の周の長さを求めなさい。（6点）
（3）辺が93倍の立方体の切断面の面積を求めなさい。（10点）
第5問 確率・戻さない抽出と情報による絞り込み（20点）
袋に赤玉93個、白玉4個があります。よく混ぜて同時に2個取り出します。どの2個の組も同様に確からしいとします。
（1）赤白1個ずつである確率を求めなさい。（4点）
（2）2個が同じ色である確率を求めなさい。（6点）
（3）「少なくとも1個は赤であった」と分かったとき、2個とも赤である確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
条件式を2乗するとx²+8+16/x²=9409です。
答え：\(\boxed{9401}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
(x+4/x)(x²+16/x²)=x³+64/x³+4(x+4/x)なので、97×9401−4×97です。
答え：\(\boxed{911509}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
(x²+16/x²)²=x⁴+256/x⁴+32より、9401²−32です。
答え：\(\boxed{88378769}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
底辺AB=186、高さ=8649なので面積は93³です。
答え：\(\boxed{804357}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
共通底辺から(8649−t²)/8649=4/5。よってt²=\frac{8649}{5}。正負の2解とも区間内です。
答え：\(\boxed{t=\pm\frac{93}{\sqrt{5}}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
2点のy座標はt²で一致するので、水平な直線です。
答え：\(\boxed{y=\frac{8649}{5}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
三平方でBC=465。面積をAB×AC/2=BC×AH/2と表すとAH=\frac{1116}{5}です。
答え：\(\boxed{BC=465,\ AH=\frac{1116}{5}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
△ABHと△CBAは直角と∠Bが等しいので相似。AB/BC=BH/AB、すなわちBH=AB²/BC=\frac{837}{5}です。
答え：\(\boxed{\frac{837}{5}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
BP=372。HP=|BP−BH|。三平方でAP²=AH²+(BP−BH)²を計算します。
答え：\(\boxed{\frac{458397}{5}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
1座標を0、別の座標を8とすると残りは4。(8,4,0)の6通りの並べ替えです。
答え：\(\boxed{(8,4,0),(8,0,4),(4,8,0),(0,8,4),(4,0,8),(0,4,8)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
隣り合う点の距離は√(16+16)=4√2。切断面は中心からの距離も等しい正六角形なので周は6倍です。
答え：\(\boxed{24\sqrt{2}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
辺長4√2の正六角形を6枚の正三角形に分けます。高さは三平方で辺の√3/2倍なので面積は316√3。相似比93の面積比は8649です。
答え：\(\boxed{415152\sqrt{3}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
全体は97×96/2=4656組。異色の組は93×4=372組です。
答え：\(\boxed{\frac{31}{388}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
赤2個は93×92/2組、白2個は4×3/2組なので合計4284組です。
答え：\(\boxed{\frac{357}{388}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
条件に合う組は全体から白2個を除いた4650組。どれも元々等確率なので、そのうち赤2個の4278組の割合を求めます。
答え：\(\boxed{\frac{23}{25}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。