早稲田大学高等学院対策 数学模擬試験 第019回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
整数部分の定義・境界の扱いと、関数・図形・確率の記述演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 共役な平方根・対称式（20点）
A=\(\sqrt{36}+\sqrt{31}\)、B=\(\sqrt{36}-\sqrt{31}\)とします。
（1）ABを求めなさい。（4点）
（2）A²+B²を求めなさい。（6点）
（3）A⁴+B⁴を求めなさい。（10点）
第2問 放物線と弦・三角形の面積最大（20点）
放物線y=x²上にA(−31,961)、B(5,25)があります。P(t,t²)は−31≦t≦5を動きます。
（1）直線ABの式を求めなさい。（4点）
（2）三角形ABPの面積Sをtの式で表しなさい。（6点）
（3）Sの最大値と、そのときのtを求め、最大である理由を示しなさい。（10点）
第3問 直角三角形・斜辺上の点への距離（20点）
三角形ABCは∠A=90°、AB=93cm、AC=124cmです。AからBCに下ろした垂線の足をH、BC上でBP:PC=5:1となる点をPとします。
（1）BCとAHの長さを求めなさい。（4点）
（2）BHの長さを求め、用いた相似を示しなさい。（6点）
（3）AP²の値を求めなさい。（10点）
第4問 直方体表面の最短経路・展開図比較（20点）
3辺がa=31cm、b=36cm、c=41cmの直方体で、向かい合う頂点をA,Gとします。AからGまで表面上だけを進みます。
（1）2面を展開した3種類の経路の長さの2乗を、a,b,cで表しなさい。（4点）
（2）そのうち最短となる経路の長さを求めなさい。（6点）
（3）なぜその展開図が最短か、a<b<cを使って説明しなさい。（10点）
第5問 確率・戻さない抽出と情報による絞り込み（20点）
袋に赤玉31個、白玉5個があります。よく混ぜて同時に2個取り出します。どの2個の組も同様に確からしいとします。
（1）赤白1個ずつである確率を求めなさい。（4点）
（2）2個が同じ色である確率を求めなさい。（6点）
（3）「少なくとも1個は赤であった」と分かったとき、2個とも赤である確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
平方の差からAB=(36)−31です。
答え：\(\boxed{5}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
(A+B)²−2ABを使います。A+B=2√36なので、4×36−2×5です。
答え：\(\boxed{134}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
(A²+B²)²−2(AB)²に帰着します。\(134^2-2\times5^2\)。
答え：\(\boxed{17906}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
傾きは(25−961)/(36)=-26。Aを代入すると切片は155です。
答え：\(\boxed{y=(-26)x+155}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
Pと同じx座標の弦上の点をQとするとPQ=(-26)t+155−t²=(t+31)(5−t)。面積は左右に分けてPQ×(36)/2です。
答え：\(\boxed{S=\frac{36}2(t+31)(5-t)}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
(t+31)(5−t)=\(\frac{1296}4-(t+13)^2\)。2乗の項が0で最大になり、そのtは指定区間内です。
答え：\(\boxed{S_{\max}=5832,\ t=-13}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
三平方でBC=155。面積をAB×AC/2=BC×AH/2と表すとAH=\frac{372}{5}です。
答え：\(\boxed{BC=155,\ AH=\frac{372}{5}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
△ABHと△CBAは直角と∠Bが等しいので相似。AB/BC=BH/AB、すなわちBH=AB²/BC=\frac{279}{5}です。
答え：\(\boxed{\frac{279}{5}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
BP=\frac{775}{6}。HP=|BP−BH|。三平方でAP²=AH²+(BP−BH)²を計算します。
答え：\(\boxed{\frac{393049}{36}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
展開図では長方形の対角線なので、(a+b)²+c²、(a+c)²+b²、(b+c)²+a²です。
答え：\(\boxed{(a+b)^2+c^2,\ (a+c)^2+b^2,\ (b+c)^2+a^2}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
最小は(a+b)²+c²=6170。三平方で正の平方根を採ります。
答え：\(\boxed{\sqrt{6170}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
3式の共通部分はa²+b²+c²。残る部分は2ab,2ac,2bcで、a<b<cならab<ac<bcです。
答え：\\(\boxed{ab<ac<bc}\\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
全体は36×35/2=630組。異色の組は31×5=155組です。
答え：\(\boxed{\frac{31}{126}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
赤2個は31×30/2組、白2個は5×4/2組なので合計475組です。
答え：\(\boxed{\frac{95}{126}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
条件に合う組は全体から白2個を除いた620組。どれも元々等確率なので、そのうち赤2個の465組の割合を求めます。
答え：\(\boxed{\frac{3}{4}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。