筑波大学附属駒場高等学校対策 数学模擬試験 第099回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
整数条件・規則性・初到達の確率と、図形の証明を組み合わせる演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 余り・連続する整数の公倍数（20点）
正の整数nを5で割ると余りは4、6で割ると余りは5です。
（1）最小のnを求めなさい。（4点）
（2）1≦n≦2669で条件を満たすnの個数を求めなさい。（6点）
（3）(2)で条件を満たすnの和を、両端を組み合わせる方法で求めなさい。（10点）
第2問 放物線と弦・三角形の面積最大（20点）
放物線y=x²上にA(−89,7921)、B(5,25)があります。P(t,t²)は−89≦t≦5を動きます。
（1）直線ABの式を求めなさい。（4点）
（2）三角形ABPの面積Sをtの式で表しなさい。（6点）
（3）Sの最大値と、そのときのtを求め、最大である理由を示しなさい。（10点）
第3問 折り返し・垂直二等分線と面積（20点）
長方形ABCDをA(0,0)、B(178,0)、C(178,10)、D(0,10)と置きます。AがCに重なるように折ると、折り目はABとP、CDとQで交わります。
（1）Pのx座標を求めなさい。（4点）
（2）Qのx座標を求めなさい。（6点）
（3）四角形APQDの面積を求めなさい。（10点）
第4問 立方体の平面切断・正六角形（20点）
1辺10cmの立方体を0≦x,y,z≦10と表します。平面x+y+z=15で切断します。さらにこの立方体と相似で、辺が89倍の立方体も同じ位置の比で切断します。
（1）元の切断面の頂点を6個すべて挙げなさい。（4点）
（2）元の切断面の周の長さを求めなさい。（6点）
（3）辺が89倍の立方体の切断面の面積を求めなさい。（10点）
第5問 確率・戻さない抽出と情報による絞り込み（20点）
袋に赤玉89個、白玉5個があります。よく混ぜて同時に2個取り出します。どの2個の組も同様に確からしいとします。
（1）赤白1個ずつである確率を求めなさい。（4点）
（2）2個が同じ色である確率を求めなさい。（6点）
（3）「少なくとも1個は赤であった」と分かったとき、2個とも赤である確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
n+1は5と6の公倍数です。連続する整数は互いに素なので最小公倍数は30。n=30k−1、kは正の整数です。
答え：\(\boxed{29}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
上限より30k−1≦2669、つまり1≦k≦89。
答え：\(\boxed{89}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
初項29と末項2669の和は2698。先頭と末尾の順を逆にした列を足すと各項がこの値で、全体の2倍が89倍になります。
答え：\(\boxed{120061}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
傾きは(25−7921)/(94)=-84。Aを代入すると切片は445です。
答え：\(\boxed{y=(-84)x+445}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
Pと同じx座標の弦上の点をQとするとPQ=(-84)t+445−t²=(t+89)(5−t)。面積は左右に分けてPQ×(94)/2です。
答え：\(\boxed{S=\frac{94}2(t+89)(5-t)}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
(t+89)(5−t)=\(\frac{8836}4-(t+42)^2\)。2乗の項が0で最大になり、そのtは指定区間内です。
答え：\(\boxed{S_{\max}=103823,\ t=-42}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
PA=PCよりx²=(178−x)²+100。整理して2×178x=31784です。横の長さが縦より大きいので0<x<178を満たします。
答え：\(\boxed{\frac{7946}{89}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
QA=QCよりx²+100=(178−x)²。よってx=(31684−100)/(2×178)です。これも辺CD上です。
答え：\(\boxed{\frac{7896}{89}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
APとDQが平行な台形です。両底辺の和は178、高さは10なので面積は178×10/2です。
答え：\(\boxed{890}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
1座標を0、別の座標を10とすると残りは5。(10,5,0)の6通りの並べ替えです。
答え：\(\boxed{(10,5,0),(10,0,5),(5,10,0),(0,10,5),(5,0,10),(0,5,10)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
隣り合う点の距離は√(25+25)=5√2。切断面は中心からの距離も等しい正六角形なので周は6倍です。
答え：\(\boxed{30\sqrt{2}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
辺長5√2の正六角形を6枚の正三角形に分けます。高さは三平方で辺の√3/2倍なので面積は325√3。相似比89の面積比は7921です。
答え：\(\boxed{594075\sqrt{3}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
全体は94×93/2=4371組。異色の組は89×5=445組です。
答え：\(\boxed{\frac{445}{4371}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
赤2個は89×88/2組、白2個は5×4/2組なので合計3926組です。
答え：\(\boxed{\frac{3926}{4371}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
条件に合う組は全体から白2個を除いた4361組。どれも元々等確率なので、そのうち赤2個の3916組の割合を求めます。
答え：\(\boxed{\frac{44}{49}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。