筑波大学附属駒場高等学校対策 数学模擬試験 第089回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
整数条件・規則性・初到達の確率と、図形の証明を組み合わせる演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 余り・連続する整数の公倍数（20点）
正の整数nを5で割ると余りは4、6で割ると余りは5です。
（1）最小のnを求めなさい。（4点）
（2）1≦n≦2609で条件を満たすnの個数を求めなさい。（6点）
（3）(2)で条件を満たすnの和を、両端を組み合わせる方法で求めなさい。（10点）
第2問 動点・折れ曲がる面積関数（20点）
長方形ABCDはAB=174cm、BC=10cmです。PはAからBを経てCまで毎秒1cmで動きます。出発t秒後の三角形APDの面積をS cm²とします。
（1）Sをtの式で、範囲を添えて表しなさい。（4点）
（2）S=435となる時刻をすべて求めなさい。（6点）
（3）Sの最大値と、それをとるすべての時刻を求めなさい。（10点）
第3問 直角三角形・斜辺上の点への距離（20点）
三角形ABCは∠A=90°、AB=261cm、AC=348cmです。AからBCに下ろした垂線の足をH、BC上でBP:PC=5:1となる点をPとします。
（1）BCとAHの長さを求めなさい。（4点）
（2）BHの長さを求め、用いた相似を示しなさい。（6点）
（3）AP²の値を求めなさい。（10点）
第4問 四角すい・切断と相似による体積比（20点）
底面が1辺10cmの正方形で、高さが87cmの正四角すいを、頂点からの距離が高さの半分の位置で底面に平行な平面により切ります。
（1）切断面の1辺の長さを求めなさい。（4点）
（2）下側の台形状の立体の体積を求めなさい。（6点）
（3）下側の立体の側面積（底面と切断面を除く）を求めなさい。（10点）
第5問 確率と移動・最初に到達する時刻（20点）
袋に赤玉87個、白玉5個があります。数直線上の点Pは原点から出発し、袋から等確率で玉を1個引くたびに、赤なら右へ1、白なら左へ1進みます。玉は毎回袋に戻し、よく混ぜます。
（1）2回後に原点にいる確率を求めなさい。（4点）
（2）5回後の座標が-1である確率を求めなさい。（6点）
（3）座標2に初めて到達するのが4回目である確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
n+1は5と6の公倍数です。連続する整数は互いに素なので最小公倍数は30。n=30k−1、kは正の整数です。
答え：\(\boxed{29}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
上限より30k−1≦2609、つまり1≦k≦87。
答え：\(\boxed{87}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
初項29と末項2609の和は2638。先頭と末尾の順を逆にした列を足すと各項がこの値で、全体の2倍が87倍になります。
答え：\(\boxed{114753}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
AB上では底辺AP=t、高さAD=10よりS=5t。BC上では底辺AD=10、高さがAB=174で一定なのでS=870です。
答え：\(\boxed{S=5t\ (0\leq t\leq174),\ S=870\ (174\leq t\leq184)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
AB上の5t=435よりt=87。BC上の値は435より大きく、解はありません。
答え：\(\boxed{87}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
AB上で増加し、B以後は一定です。したがって174秒から184秒まで全時刻で最大です。
答え：\(\boxed{870,\ 174\leq t\leq184}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
三平方でBC=435。面積をAB×AC/2=BC×AH/2と表すとAH=\frac{1044}{5}です。
答え：\(\boxed{BC=435,\ AH=\frac{1044}{5}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
△ABHと△CBAは直角と∠Bが等しいので相似。AB/BC=BH/AB、すなわちBH=AB²/BC=\frac{783}{5}です。
答え：\(\boxed{\frac{783}{5}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
BP=\frac{725}{2}。HP=|BP−BH|。三平方でAP²=AH²+(BP−BH)²を計算します。
答え：\(\boxed{\frac{343969}{4}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
頂点を含む三角形の相似から、切断面の辺は底辺の1/2です。
答え：\(\boxed{5}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
全体は100×87/3。上側は相似比1/2なので体積比1/8。残りは全体の7/8です。
答え：\(\boxed{\frac{5075}{2}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
元の側面三角形の高さは√(7569+25)。4枚の面積の合計は20√7594。上側の面積は1/4なので残りは3/4です。
答え：\(\boxed{15\sqrt{7594}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
原点へ戻るのは赤白と白赤。各並びの確率は(87/92)×(5/92)で、2つを足します。
答え：\(\boxed{\frac{435}{4232}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
赤の回数をhとすれば移動量2h−5=4−5よりh=2。赤の位置2個を選ぶ並びは5×4/2=10通り。各並びの確率は(87/92)²×(5/92)^3です。
答え：\(\boxed{\frac{4730625}{3295407616}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
4回後に右へ2進むには赤3回・白1回。初めの2回が赤赤の並びは2回目で到達するので除きます。残るのは白赤赤赤、赤白赤赤の2通り。各確率は(87/92)³×(5/92)です。
答え：\(\boxed{\frac{3292515}{35819648}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。