筑波大学附属駒場高等学校対策 数学模擬試験 第071回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
整数条件・規則性・初到達の確率と、図形の証明を組み合わせる演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 整式の割り算・約数と最小値（20点）
2以上の整数nについて\(\frac{n^2+168}n\)が整数になります。
（1）nが満たす約数の条件を説明しなさい。（4点）
（2）可能なnをすべて求めなさい。（6点）
（3）与えられた式の最小値と、そのときのnをすべて求めなさい。（10点）
第2問 放物線と弦・三角形の面積最大（20点）
放物線y=x²上にA(−84,7056)、B(2,4)があります。P(t,t²)は−84≦t≦2を動きます。
（1）直線ABの式を求めなさい。（4点）
（2）三角形ABPの面積Sをtの式で表しなさい。（6点）
（3）Sの最大値と、そのときのtを求め、最大である理由を示しなさい。（10点）
第3問 2本の線分の交点・面積比の証明（20点）
三角形ABCの面積は168cm²です。DはBCの中点、EはCA上の点でCE:EA=2:1です。ADとBEの交点をXとします。
（1）AX:XDを求め、面積比を使って説明しなさい。（4点）
（2）三角形ABXの面積を求めなさい。（6点）
（3）三角形CDXの面積を求めなさい。（10点）
第4問 整数条件・積の最大値の証明（20点）
正の整数x,yがx+y=170を満たします。
（1）xyをxの式で表しなさい。（4点）
（2）xyの最大値と、それを与える組(x,y)をすべて求めなさい。（6点）
（3）最大値が7225以下であることを、(x−y)²を使って証明しなさい。（10点）
第5問 確率・戻さない抽出と情報による絞り込み（20点）
袋に赤玉84個、白玉2個があります。よく混ぜて同時に2個取り出します。どの2個の組も同様に確からしいとします。
（1）赤白1個ずつである確率を求めなさい。（4点）
（2）2個が同じ色である確率を求めなさい。（6点）
（3）「少なくとも1個は赤であった」と分かったとき、2個とも赤である確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
式はn+168/nなので、nが整数なら残る168/nも整数であることが必要十分です。つまりnは168の正の約数です。
答え：\(\boxed{n\mid 168}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
168の正の約数を小さい順に調べ、2以上という条件を満たすものを挙げます。
答え：\(\boxed{2,3,4,6,7,8,12,14,21,24,28,42,56,84,168}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
a+bでab=168です。(a+b)²=(a−b)²+672だから、差の絶対値が最小の約数の組で最小になります。(2)の約数を比べると該当するnは[12, 14]です。
答え：\(\boxed{26,\ n=12,14}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
傾きは(4−7056)/(86)=-82。Aを代入すると切片は168です。
答え：\(\boxed{y=(-82)x+168}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
Pと同じx座標の弦上の点をQとするとPQ=(-82)t+168−t²=(t+84)(2−t)。面積は左右に分けてPQ×(86)/2です。
答え：\(\boxed{S=\frac{86}2(t+84)(2-t)}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
(t+84)(2−t)=\(\frac{7396}4-(t+41)^2\)。2乗の項が0で最大になり、そのtは指定区間内です。
答え：\(\boxed{S_{\max}=79507,\ t=-41}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
BD=DCなので[ABX]=[ACX]。共通の底辺EXを持つ△AEXと△CEXの面積比はAE:EC=1:2です。△ABXをuとすれば、△AEX=u/(3)、△CEX=2u/(3)。また△BCX=2[BDX]。△ABXと△BCXはBEを底辺とする高さの比AE:EC=1:2なので[BCX]=2u、[BDX]=2u/2。共通の頂点BからADへの高さによりAX:XD=u:(2u/2)=2:2です。
答え：\(\boxed{2:2}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
△ABDの面積は168/2。ADを2:2に分けるので[ABX]=(168/2)×2/(4)です。
答え：\(\boxed{42}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
[CDX]=[BDX]=[ABD]−[ABX]です。
答え：\(\boxed{42}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
y=170−xよりxy=x(170−x)です。
答え：\\(\boxed{-x^2+170x}\\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
\(xy=\frac{170^2-(2x-170)^2}{4}\)。整数xでは2x−170の絶対値が最小になる中央の整数を選びます。
答え：\(\boxed{7225,\ (x,y)=(85,85)}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
\(4xy=170^2-(x-y)^2\)。2乗は0以上です。よってxy≦7225。差が0で等号です。
答え：\\(\boxed{xy\leq 7225}\\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
全体は86×85/2=3655組。異色の組は84×2=168組です。
答え：\(\boxed{\frac{168}{3655}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
赤2個は84×83/2組、白2個は2×1/2組なので合計3487組です。
答え：\(\boxed{\frac{3487}{3655}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
条件に合う組は全体から白2個を除いた3654組。どれも元々等確率なので、そのうち赤2個の3486組の割合を求めます。
答え：\(\boxed{\frac{83}{87}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。