筑波大学附属駒場高等学校対策 数学模擬試験 第069回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
整数条件・規則性・初到達の確率と、図形の証明を組み合わせる演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 平方数・範囲から整数を絞る（20点）
nは0≦n≦855を満たす整数で、\(\sqrt{n+6889}\)も整数です。
（1）根号の値がとり得る整数をすべて求めなさい。（4点）
（2）条件を満たすnをすべて求めなさい。（6点）
（3）条件を満たすすべてのnの和を求めなさい。（10点）
第2問 直線と放物線・座標と面積比（20点）
直線Lは\(y=(-78)x+415\)です。放物線y=x²との交点をx座標の小さい順にA,B、Lとy軸の交点をC、原点をOとします。
（1）A,Bの座標を求めなさい。（4点）
（2）三角形OACとOBCの面積比を求めなさい。（6点）
（3）Pは線分AB上でAP:PB=5:83を満たします。Pの座標を求めなさい。（10点）
第3問 円の弦・接線と相似（20点）
中心O、半径88cmの円に弦ABがあります。弦の中点をHとしOH=83cmです。A,Bでの接線の交点をTとします。O,H,Tはこの順に一直線上にあります。
（1）ABの長さを求めなさい。（4点）
（2）OTの長さを、相似の根拠を示して求めなさい。（6点）
（3）TAの長さを求めなさい。（10点）
第4問 整数条件・積の最大値の証明（20点）
正の整数x,yがx+y=171を満たします。
（1）xyをxの式で表しなさい。（4点）
（2）xyの最大値と、それを与える組(x,y)をすべて求めなさい。（6点）
（3）最大値が7310以下であることを、(x−y)²を使って証明しなさい。（10点）
第5問 整数の確率・重なりと排他的な条件（20点）
1から88までの整数を1個ずつ書いた88枚のカードから、等確率で1枚を選びます。選んだ整数をXとします。
（1）Xが5の倍数でも6の倍数でもある確率を求めなさい。（4点）
（2）Xが5の倍数または6の倍数である確率を求めなさい。（6点）
（3）Xが5の倍数または6の倍数であると分かったとき、その一方だけの倍数である確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
根号の中は6889から7744までなので、平方根の整数値は83から88までです。両端を含みます。
答え：\(\boxed{83,84,85,86,87,88}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
根号の値をkとするとn=k²−6889。候補を順に代入します。
答え：\(\boxed{0,167,336,507,680,855}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
列挙した6個の値を足します。根号の整数性と範囲を満たす候補は(1)ですべて尽くしています。
答え：\(\boxed{2545}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
x²−(-78)x−415=(x+83)(x−5)なのでx=−83,5です。
答え：\(\boxed{A=(-83,6889),\ B=(5,25)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
共通底辺OCに対する高さは83と5です。
答え：\(\boxed{83:5}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
PはAから全体の5/88だけ進むので、x=−83+5。直線の式へ代入し、y=(-78)²+415です。
答え：\(\boxed{(-78,6499)}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
OH⊥ABなのでAH²=7744−6889=855。弦はAHの2倍です。
答え：\(\boxed{2\sqrt{855}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
OA⊥AT、OH⊥AH、∠AOT=∠HOAなので△OAT∽△OHA。OT/OA=OA/OHからOT=OA²/OHです。
答え：\(\boxed{\frac{7744}{83}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
TA²=OT²−OA²=7744(7744−6889)/6889。正の平方根を採ります。
答え：\(\boxed{\frac{88}{83}\sqrt{855}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
y=171−xよりxy=x(171−x)です。
答え：\\(\boxed{-x^2+171x}\\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
\(xy=\frac{171^2-(2x-171)^2}{4}\)。整数xでは2x−171の絶対値が最小になる中央の整数を選びます。
答え：\(\boxed{7310,\ (x,y)=(85,86),(86,85)}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
\(4xy=171^2-(x-y)^2\)。x−yは奇数なのでその2乗は1以上です。よってxy≦7310。差が±1で等号です。
答え：\\(\boxed{xy\leq 7310}\\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
連続する整数は互いに素なので両方の倍数は30の倍数で、2個です。
答え：\(\boxed{\frac{1}{44}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
5の倍数17個と6の倍数14個を足し、二重に数えた公倍数2個を1回引くと29個です。
答え：\(\boxed{\frac{29}{88}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
条件の標本は29個。このうち重なりの2個を除いた27個が一方だけです。
答え：\(\boxed{\frac{27}{29}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。