筑波大学附属駒場高等学校対策 数学模擬試験 第018回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
整数条件・規則性・初到達の確率と、図形の証明を組み合わせる演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 整式の割り算・約数と最小値（20点）
4以上の整数nについて\(\frac{n^2+84}n\)が整数になります。
（1）nが満たす約数の条件を説明しなさい。（4点）
（2）可能なnをすべて求めなさい。（6点）
（3）与えられた式の最小値と、そのときのnをすべて求めなさい。（10点）
第2問 直線と放物線・座標と面積比（20点）
直線Lは\(y=(-17)x+84\)です。放物線y=x²との交点をx座標の小さい順にA,B、Lとy軸の交点をC、原点をOとします。
（1）A,Bの座標を求めなさい。（4点）
（2）三角形OACとOBCの面積比を求めなさい。（6点）
（3）Pは線分AB上でAP:PB=4:21を満たします。Pの座標を求めなさい。（10点）
第3問 2本の線分の交点・面積比の証明（20点）
三角形ABCの面積は84cm²です。DはBCの中点、EはCA上の点でCE:EA=4:1です。ADとBEの交点をXとします。
（1）AX:XDを求め、面積比を使って説明しなさい。（4点）
（2）三角形ABXの面積を求めなさい。（6点）
（3）三角形CDXの面積を求めなさい。（10点）
第4問 共役な平方根・対称式（20点）
A=\(\sqrt{25}+\sqrt{21}\)、B=\(\sqrt{25}-\sqrt{21}\)とします。
（1）ABを求めなさい。（4点）
（2）A²+B²を求めなさい。（6点）
（3）A⁴+B⁴を求めなさい。（10点）
第5問 整数の確率・重なりと排他的な条件（20点）
1から25までの整数を1個ずつ書いた25枚のカードから、等確率で1枚を選びます。選んだ整数をXとします。
（1）Xが4の倍数でも5の倍数でもある確率を求めなさい。（4点）
（2）Xが4の倍数または5の倍数である確率を求めなさい。（6点）
（3）Xが4の倍数または5の倍数であると分かったとき、その一方だけの倍数である確率を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
式はn+84/nなので、nが整数なら残る84/nも整数であることが必要十分です。つまりnは84の正の約数です。
答え：\(\boxed{n\mid 84}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
84の正の約数を小さい順に調べ、4以上という条件を満たすものを挙げます。
答え：\(\boxed{4,6,7,12,14,21,28,42,84}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
a+bでab=84です。(a+b)²=(a−b)²+336だから、差の絶対値が最小の約数の組で最小になります。(2)の約数を比べると該当するnは[7, 12]です。
答え：\(\boxed{19,\ n=7,12}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
x²−(-17)x−84=(x+21)(x−4)なのでx=−21,4です。
答え：\(\boxed{A=(-21,441),\ B=(4,16)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
共通底辺OCに対する高さは21と4です。
答え：\(\boxed{21:4}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
PはAから全体の4/25だけ進むので、x=−21+4。直線の式へ代入し、y=(-17)²+84です。
答え：\(\boxed{(-17,373)}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
BD=DCなので[ABX]=[ACX]。共通の底辺EXを持つ△AEXと△CEXの面積比はAE:EC=1:4です。△ABXをuとすれば、△AEX=u/(5)、△CEX=4u/(5)。また△BCX=2[BDX]。△ABXと△BCXはBEを底辺とする高さの比AE:EC=1:4なので[BCX]=4u、[BDX]=4u/2。共通の頂点BからADへの高さによりAX:XD=u:(4u/2)=2:4です。
答え：\(\boxed{2:4}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
△ABDの面積は84/2。ADを2:4に分けるので[ABX]=(84/2)×2/(6)です。
答え：\(\boxed{14}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
[CDX]=[BDX]=[ABD]−[ABX]です。
答え：\(\boxed{28}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
平方の差からAB=(25)−21です。
答え：\(\boxed{4}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
(A+B)²−2ABを使います。A+B=2√25なので、4×25−2×4です。
答え：\(\boxed{92}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
(A²+B²)²−2(AB)²に帰着します。\(92^2-2\times4^2\)。
答え：\(\boxed{8432}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
連続する整数は互いに素なので両方の倍数は20の倍数で、1個です。
答え：\(\boxed{\frac{1}{25}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
4の倍数6個と5の倍数5個を足し、二重に数えた公倍数1個を1回引くと10個です。
答え：\(\boxed{\frac{2}{5}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
条件の標本は10個。このうち重なりの1個を除いた9個が一方だけです。
答え：\(\boxed{\frac{9}{10}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。