慶應義塾志木高等学校対策 数学模擬試験 第094回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
相似・接線・立体の切断と、整数方程式・数え上げの記述演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 逆数を含む条件式・式の値（20点）
xは正の数で、\(x+\frac{5}{x}=141\)を満たします。
（1）\\(x^2+\frac{25}{x^2}\\)を求めなさい。（4点）
（2）\(x^3+\frac{125}{x^3}\)を求めなさい。（6点）
（3）\(x^4+\frac{625}{x^4}\)を求めなさい。（10点）
第2問 直線と放物線・座標と面積比（20点）
直線Lは\(y=(-131)x+680\)です。放物線y=x²との交点をx座標の小さい順にA,B、Lとy軸の交点をC、原点をOとします。
（1）A,Bの座標を求めなさい。（4点）
（2）三角形OACとOBCの面積比を求めなさい。（6点）
（3）Pは線分AB上でAP:PB=5:136を満たします。Pの座標を求めなさい。（10点）
第3問 折り返し・垂直二等分線と面積（20点）
長方形ABCDをA(0,0)、B(272,0)、C(272,10)、D(0,10)と置きます。AがCに重なるように折ると、折り目はABとP、CDとQで交わります。
（1）Pのx座標を求めなさい。（4点）
（2）Qのx座標を求めなさい。（6点）
（3）四角形APQDの面積を求めなさい。（10点）
第4問 円すいと内接円柱・体積の比較（20点）
底面半径5cm、高さ136cmの円すいがあります。底面を共通の平面に置き、中心軸を一致させた高さhの円柱を内接させます。0<h<136とします。
（1）円柱の半径rをhの式で表しなさい。（4点）
（2）h=\(\frac{136}{3}\)のときの円柱の体積を求めなさい。（6点）
（3）h=\(\frac{272}{3}\)のときと(2)の体積を比較し、比を求めなさい。（10点）
第5問 平方数・範囲から整数を絞る（20点）
nは0≦n≦1385を満たす整数で、\(\sqrt{n+18496}\)も整数です。
（1）根号の値がとり得る整数をすべて求めなさい。（4点）
（2）条件を満たすnをすべて求めなさい。（6点）
（3）条件を満たすすべてのnの和を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
条件式を2乗するとx²+10+25/x²=19881です。
答え：\(\boxed{19871}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
(x+5/x)(x²+25/x²)=x³+125/x³+5(x+5/x)なので、141×19871−5×141です。
答え：\(\boxed{2801106}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
(x²+25/x²)²=x⁴+625/x⁴+50より、19871²−50です。
答え：\(\boxed{394856591}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
x²−(-131)x−680=(x+136)(x−5)なのでx=−136,5です。
答え：\(\boxed{A=(-136,18496),\ B=(5,25)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
共通底辺OCに対する高さは136と5です。
答え：\(\boxed{136:5}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
PはAから全体の5/141だけ進むので、x=−136+5。直線の式へ代入し、y=(-131)²+680です。
答え：\(\boxed{(-131,17841)}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
PA=PCよりx²=(272−x)²+100。整理して2×272x=74084です。横の長さが縦より大きいので0<x<272を満たします。
答え：\(\boxed{\frac{18521}{136}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
QA=QCよりx²+100=(272−x)²。よってx=(73984−100)/(2×272)です。これも辺CD上です。
答え：\(\boxed{\frac{18471}{136}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
APとDQが平行な台形です。両底辺の和は272、高さは10なので面積は272×10/2です。
答え：\(\boxed{1360}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
断面の相似よりr/5=(136−h)/136です。
答え：\(\boxed{r=5\left(1-\frac{h}{136}\right)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
r=\frac{10}{3}、h=\frac{136}{3}をπr²hへ代入します。
答え：\(\boxed{\frac{13600}{27}\pi}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
hが2倍になるとrは\frac{5}{3}となり半分。したがって体積は2×(1/2)²=1/2倍です。
答え：\(\boxed{2:1}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
根号の中は18496から19881までなので、平方根の整数値は136から141までです。両端を含みます。
答え：\(\boxed{136,137,138,139,140,141}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
根号の値をkとするとn=k²−18496。候補を順に代入します。
答え：\(\boxed{0,273,548,825,1104,1385}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
列挙した6個の値を足します。根号の整数性と範囲を満たす候補は(1)ですべて尽くしています。
答え：\(\boxed{4135}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。