慶應義塾志木高等学校対策 数学模擬試験 第072回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
相似・接線・立体の切断と、整数方程式・数え上げの記述演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 定義された整数部分・不等式の境界（20点）
実数tに対し、t以下の最大の整数を[t]と書きます。[x]=132とします。
（1）xの範囲を不等式で表しなさい。（4点）
（2）[3x]のとり得る値をすべて求めなさい。（6点）
（3）[3x]=398となるxの範囲を求めなさい。（10点）
第2問 座標・距離の2乗と最小値（20点）
A(0,132)、B(6,132)、P(t,0)とします。
（1）PA²+PB²をtの式で表しなさい。（4点）
（2）PA²+PB²の最小値と、そのときのPの座標を求めなさい。（6点）
（3）PA²+PB²がその最小値より18だけ大きくなるPの座標をすべて求めなさい。（10点）
第3問 折り返し・垂直二等分線と面積（20点）
長方形ABCDをA(0,0)、B(264,0)、C(264,6)、D(0,6)と置きます。AがCに重なるように折ると、折り目はABとP、CDとQで交わります。
（1）Pのx座標を求めなさい。（4点）
（2）Qのx座標を求めなさい。（6点）
（3）四角形APQDの面積を求めなさい。（10点）
第4問 立方体の平面切断・正六角形（20点）
1辺6cmの立方体を0≦x,y,z≦6と表します。平面x+y+z=9で切断します。さらにこの立方体と相似で、辺が132倍の立方体も同じ位置の比で切断します。
（1）元の切断面の頂点を6個すべて挙げなさい。（4点）
（2）元の切断面の周の長さを求めなさい。（6点）
（3）辺が132倍の立方体の切断面の面積を求めなさい。（10点）
第5問 平方数・範囲から整数を絞る（20点）
nは0≦n≦801を満たす整数で、\(\sqrt{n+17424}\)も整数です。
（1）根号の値がとり得る整数をすべて求めなさい。（4点）
（2）条件を満たすnをすべて求めなさい。（6点）
（3）条件を満たすすべてのnの和を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
定義から132≦x<133です。
答え：\(\boxed{132\leq x<133}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
3倍すると396≦3x<399。この区間の各整数部分が実現します。
答え：\(\boxed{396,397,398}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
398≦3x<399を3で割ります。上端は含みません。
答え：\(\boxed{\frac{398}{3}\leq x<133}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
三平方よりPA²=t²+17424、PB²=(t−6)²+17424です。
答え：\(\boxed{2t^2-12t+34884}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
和は\(2(t-3)^2+34866\)。2乗は0以上なのでt=3で最小です。
答え：\(\boxed{34866,\ P=(3,0)}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
2(t−3)²=18よりt−3=±3。正負の両方を採ります。
答え：\(\boxed{(0,0),\ (6,0)}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
PA=PCよりx²=(264−x)²+36。整理して2×264x=69732です。横の長さが縦より大きいので0<x<264を満たします。
答え：\(\boxed{\frac{5811}{44}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
QA=QCよりx²+36=(264−x)²。よってx=(69696−36)/(2×264)です。これも辺CD上です。
答え：\(\boxed{\frac{5805}{44}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
APとDQが平行な台形です。両底辺の和は264、高さは6なので面積は264×6/2です。
答え：\(\boxed{792}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
1座標を0、別の座標を6とすると残りは3。(6,3,0)の6通りの並べ替えです。
答え：\(\boxed{(6,3,0),(6,0,3),(3,6,0),(0,6,3),(3,0,6),(0,3,6)}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
隣り合う点の距離は√(9+9)=3√2。切断面は中心からの距離も等しい正六角形なので周は6倍です。
答え：\(\boxed{18\sqrt{2}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
辺長3√2の正六角形を6枚の正三角形に分けます。高さは三平方で辺の√3/2倍なので面積は39√3。相似比132の面積比は17424です。
答え：\(\boxed{470448\sqrt{3}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
根号の中は17424から18225までなので、平方根の整数値は132から135までです。両端を含みます。
答え：\(\boxed{132,133,134,135}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
根号の値をkとするとn=k²−17424。候補を順に代入します。
答え：\(\boxed{0,265,532,801}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
列挙した4個の値を足します。根号の整数性と範囲を満たす候補は(1)ですべて尽くしています。
答え：\(\boxed{1598}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。