慶應義塾志木高等学校対策 数学模擬試験 第030回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
相似・接線・立体の切断と、整数方程式・数え上げの記述演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 共役な平方根・対称式（20点）
A=\(\sqrt{69}+\sqrt{63}\)、B=\(\sqrt{69}-\sqrt{63}\)とします。
（1）ABを求めなさい。（4点）
（2）A²+B²を求めなさい。（6点）
（3）A⁴+B⁴を求めなさい。（10点）
第2問 放物線上の点・面積比と二次方程式（20点）
放物線y=x²上にA(−63,3969)、B(63,3969)があり、Oは原点です。P(t,t²)は−63<t<63を動きます。
（1）三角形OABの面積を求めなさい。（4点）
（2）三角形PABの面積がOABの\(\frac{6}{7}\)倍となるtをすべて求めなさい。（6点）
（3）そのような2点Pを結ぶ直線の式を求めなさい。（10点）
第3問 折り返し・垂直二等分線と面積（20点）
長方形ABCDをA(0,0)、B(126,0)、C(126,12)、D(0,12)と置きます。AがCに重なるように折ると、折り目はABとP、CDとQで交わります。
（1）Pのx座標を求めなさい。（4点）
（2）Qのx座標を求めなさい。（6点）
（3）四角形APQDの面積を求めなさい。（10点）
第4問 回転体・円すいの差と相似（20点）
直角台形ABCDをA(0,0)、B(12,0)、C(6,63)、D(0,63)とします。直線ADの周りに1回転します。
（1）BCを延長した直線とADの交点のy座標を求めなさい。（4点）
（2）回転体の体積を求めなさい。（6点）
（3）上下の底面を含む表面積を求めなさい。（10点）
第5問 平方数・範囲から整数を絞る（20点）
nは0≦n≦792を満たす整数で、\(\sqrt{n+3969}\)も整数です。
（1）根号の値がとり得る整数をすべて求めなさい。（4点）
（2）条件を満たすnをすべて求めなさい。（6点）
（3）条件を満たすすべてのnの和を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
平方の差からAB=(69)−63です。
答え：\(\boxed{6}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
(A+B)²−2ABを使います。A+B=2√69なので、4×69−2×6です。
答え：\(\boxed{264}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
(A²+B²)²−2(AB)²に帰着します。\(264^2-2\times6^2\)。
答え：\(\boxed{69624}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
底辺AB=126、高さ=3969なので面積は63³です。
答え：\(\boxed{250047}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
共通底辺から(3969−t²)/3969=6/7。よってt²=567。正負の2解とも区間内です。
答え：\(\boxed{t=\pm\frac{63}{\sqrt{7}}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
2点のy座標はt²で一致するので、水平な直線です。
答え：\(\boxed{y=567}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
PA=PCよりx²=(126−x)²+144。整理して2×126x=16020です。横の長さが縦より大きいので0<x<126を満たします。
答え：\(\boxed{\frac{445}{7}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
QA=QCよりx²+144=(126−x)²。よってx=(15876−144)/(2×126)です。これも辺CD上です。
答え：\(\boxed{\frac{437}{7}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
APとDQが平行な台形です。両底辺の和は126、高さは12なので面積は126×12/2です。
答え：\(\boxed{756}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
半径が12から6へ、高さ63で半減するので、さらに63進むと0になります。交点は(0,126)です。
答え：\(\boxed{126}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
半径12・高さ126の円すいから、半径6・高さ63の円すいを除きます。π((12)²×126−36×63)/3です。
答え：\(\boxed{5292\pi}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
母線BC=√(3969+36)。円すいの側面積の差はπ(12×2BC−6×BC)=18πBC。上下の円の面積を足します。
答え：\(\boxed{18\pi\sqrt{4005}+180\pi}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
根号の中は3969から4761までなので、平方根の整数値は63から69までです。両端を含みます。
答え：\(\boxed{63,64,65,66,67,68,69}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
根号の値をkとするとn=k²−3969。候補を順に代入します。
答え：\(\boxed{0,127,256,387,520,655,792}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
列挙した7個の値を足します。根号の整数性と範囲を満たす候補は(1)ですべて尽くしています。
答え：\(\boxed{2737}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。