慶應義塾志木高等学校対策 数学模擬試験 第014回
出題範囲と取り組み方
中学数学の発展範囲で解ける高校入試対策です。高校の数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Cは前提にしません。各回の問題と解答・解説は独自作成です。
相似・接線・立体の切断と、整数方程式・数え上げの記述演習。図形は問題文の条件から自分で図を描き、途中式・場合分け・証明の理由を記述しなさい。長さはcm、面積はcm²、体積はcm³で答えます。円周率はπのまま残します。
学校公式の入試案内（確認日：2026年10月4日）。学校別に学習の重点を設定した対策用オリジナル模試です。時間・大問数・配点・重点分野は本教材の演習設計です。年度別の出題傾向を分析して本番の形式を再現したものではありません。
問題
第1問 定義された整数部分・不等式の境界（20点）
実数tに対し、t以下の最大の整数を[t]と書きます。[x]=60とします。
（1）xの範囲を不等式で表しなさい。（4点）
（2）[5x]のとり得る値をすべて求めなさい。（6点）
（3）[5x]=304となるxの範囲を求めなさい。（10点）
第2問 放物線と弦・三角形の面積最大（20点）
放物線y=x²上にA(−60,3600)、B(5,25)があります。P(t,t²)は−60≦t≦5を動きます。
（1）直線ABの式を求めなさい。（4点）
（2）三角形ABPの面積Sをtの式で表しなさい。（6点）
（3）Sの最大値と、そのときのtを求め、最大である理由を示しなさい。（10点）
第3問 円の弦・接線と相似（20点）
中心O、半径65cmの円に弦ABがあります。弦の中点をHとしOH=60cmです。A,Bでの接線の交点をTとします。O,H,Tはこの順に一直線上にあります。
（1）ABの長さを求めなさい。（4点）
（2）OTの長さを、相似の根拠を示して求めなさい。（6点）
（3）TAの長さを求めなさい。（10点）
第4問 回転体・円すいの差と相似（20点）
直角台形ABCDをA(0,0)、B(10,0)、C(5,60)、D(0,60)とします。直線ADの周りに1回転します。
（1）BCを延長した直線とADの交点のy座標を求めなさい。（4点）
（2）回転体の体積を求めなさい。（6点）
（3）上下の底面を含む表面積を求めなさい。（10点）
第5問 平方数・範囲から整数を絞る（20点）
nは0≦n≦625を満たす整数で、\(\sqrt{n+3600}\)も整数です。
（1）根号の値がとり得る整数をすべて求めなさい。（4点）
（2）条件を満たすnをすべて求めなさい。（6点）
（3）条件を満たすすべてのnの和を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問
（1）
定義から60≦x<61です。
答え：\(\boxed{60\leq x<61}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
5倍すると300≦5x<305。この区間の各整数部分が実現します。
答え：\(\boxed{300,301,302,303,304}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
304≦5x<305を5で割ります。上端は含みません。
答え：\(\boxed{\frac{304}{5}\leq x<61}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第2問
（1）
傾きは(25−3600)/(65)=-55。Aを代入すると切片は300です。
答え：\(\boxed{y=(-55)x+300}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
Pと同じx座標の弦上の点をQとするとPQ=(-55)t+300−t²=(t+60)(5−t)。面積は左右に分けてPQ×(65)/2です。
答え：\(\boxed{S=\frac{65}2(t+60)(5-t)}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
(t+60)(5−t)=\(\frac{4225}4-(t+\frac{55}{2})^2\)。2乗の項が0で最大になり、そのtは指定区間内です。
答え：\(\boxed{S_{\max}=\frac{274625}{8},\ t=-\frac{55}{2}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第3問
（1）
OH⊥ABなのでAH²=4225−3600=625。弦はAHの2倍です。
答え：\(\boxed{2\sqrt{625}}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
OA⊥AT、OH⊥AH、∠AOT=∠HOAなので△OAT∽△OHA。OT/OA=OA/OHからOT=OA²/OHです。
答え：\(\boxed{\frac{845}{12}}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
TA²=OT²−OA²=4225(4225−3600)/3600。正の平方根を採ります。
答え：\(\boxed{\frac{65}{60}\sqrt{625}}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第4問
（1）
半径が10から5へ、高さ60で半減するので、さらに60進むと0になります。交点は(0,120)です。
答え：\(\boxed{120}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
半径10・高さ120の円すいから、半径5・高さ60の円すいを除きます。π((10)²×120−25×60)/3です。
答え：\(\boxed{3500\pi}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
母線BC=√(3600+25)。円すいの側面積の差はπ(10×2BC−5×BC)=15πBC。上下の円の面積を足します。
答え：\(\boxed{15\pi\sqrt{3625}+125\pi}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
第5問
（1）
根号の中は3600から4225までなので、平方根の整数値は60から65までです。両端を含みます。
答え：\(\boxed{60,61,62,63,64,65}\)
採点目安（4点）：正しい立式・根拠に2点、結論と条件の確認に2点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（2）
根号の値をkとするとn=k²−3600。候補を順に代入します。
答え：\(\boxed{0,121,244,369,496,625}\)
採点目安（6点）：正しい立式・根拠に3点、結論と条件の確認に3点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
（3）
列挙した6個の値を足します。根号の整数性と範囲を満たす候補は(1)ですべて尽くしています。
答え：\(\boxed{1855}\)
採点目安（10点）：正しい立式・根拠に5点、結論と条件の確認に5点。証明問題は論理が結論までつながれば満点。
復習記録
| 大問 | 得点 / 20 | 間違えた条件・次に確かめること |
|---|---|---|
| 第1問 | ||
| 第2問 | ||
| 第3問 | ||
| 第4問 | ||
| 第5問 |
合計：＿＿ / 100点。解き直しでは答えを隠して、式や図を作るところから取り組みます。